7進法の循環小数

$$
-|-log_\sqrt{a}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}^{32}}}}}}|
$$

問題文

a^3+b^3=(ab)^2を満たす自然数a,bの組を全て求めよ

解答形式

例）
記述式　簡単でいいです

問題文

ある数は2の倍数であり、1を引くと3の倍数である。この数を、小さい順で10個答えよ

解答形式

数字を10個

$$
\sqrt{log_\frac{1}{2}(\frac{1}{256})}の小数部分？
$$

問題文

素数 $p$ と正の整数 $n$ が、以下の等式を満たすとします。
$$\frac{n^2+np+p^2}{n+p} = 2p-1$$
このような組 $(n,p)$ を全て求めてください。

解答形式

解が有限個であるとされた場合は、全ての解と、それ以外に解が存在しないことの証明を、簡単で構わないのでお願いします。無限個とされた場合は証明いらないので、何らかの形で解を表してください。証明に完全性がないと見なした場合は、採点機能がない都合上、99点をあげたいところも不正解とさせていただきます

問題文

$8\times8$ のマス目に対し，上から $1$ 行目かつ左から $1$ 列目にあるマス目には黒を表にしてオセロの駒を置き， 残りの $63$ マスには隣り合うマスに置かれた2つの駒が同じ色を表にして置かれないようにオセロの駒を $1$ つずつ置きました．
このとき，「行もしくは列を $1$ つ選び，そこに置かれた $8$ つの駒を全て同時に裏返す」という操作を繰り返したところ，すべての駒が黒を表にして置かれました．
このときの操作回数としてあり得る最小の値を $m$ とおくとき，操作回数が $m$ であって，最終的にすべての駒が黒を表にして置かれるような操作方法の総数を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

nを自然数とする。各位の数の積をs(n)とするとき、s(n)=nを満たすnの総和を求めよ
ただし、nが１桁の時s(n)=s(10＋n）が成り立つとする

解答形式

半角数字で入力してください

問題文

以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。

$$
\left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x
$$

ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。

解答形式

答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。
末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。

例）答えが $-1,8,9,10$ のとき

-1
8
9
10

と解答してください。

問題文

101^100の下位5桁(万の位まで)を求めよ。

解答形式

半角でお願いします。

$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$
$4桁の自然数A,Bにおいて$$$
\begin{eqnarray}
\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n
\end{eqnarray}
$$$ (nは2以上の整数)$
$のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$
半角数字のみで答えよ

問題文

$n$を$2025$以下の正整数とする。
ある$n$について、$(n^{2}+n+1)(n^{3}+n^{2}-2n)$がもつ素因数$2$の個数を$d(n)$で表す。
$d(n)=1$となるような$n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

非負整数 $n$ に対して, $a_n$ を以下で定めます.$$a_0=1,\quad a_{n+1}=10a_n+4$$ このとき, $a_n$ が累乗数となるような非負整数 $n$ に対して, $a_n$ の総和を求めてください.
ただし, 累乗数とは, 自然数 $a$ と$2$ 以上の自然数 $b$ を用いて $a^b$ と表せる数です.

解答形式

例）整数を答えてください.