原始ピタゴラ数

O.K 採点者ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2025年7月2日8:25 正解数: 0 / 解答数: 1 ギブアップ不可
整数

問題文

$$
a²+b²=c²,gcd(a,b,c)=1
$$
を満たす自然数a,b,cが存在するとき
任意の自然数tに対して
$$
aₜ²+bₜ²=c²ᵗ,gcd(aₜ,bₜ)=1
$$
を満たす自然数aₜ,bₜが存在することを示せ

解答形式

例)ひらがなで入力してください。


ヒント1

有理数rでcos(r)とsin(r)が共に有理数となるrの条件を求めよ


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$$
1個の2 以上の正整数を要素に持ち,それらの総積が n に等しい
$$  この時 $A_{2^{100}}$ としてありうる数列すべてについて,その要素の
総和を $97$ で割った余りを答えてください。
  ただし,並び替えて一致するものも別々として数える。
例えば $A_{8}$ としてありうるものは $\lbrace8\rbrace,\lbrace2,4\rbrace, \lbrace4,2\rbrace, \lbrace2,2,2\rbrace$ でありその要素の総和は $8+2+4+4+2+2+2+2=26$ である。

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$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yに対して恒等式$
$$f(x ^2+y)=f(kx ^2+2y)−f(3x ^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

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$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yについて恒等式$
$$f(x^2+y)=f(kx^2+2y)-f(3x^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

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$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また,$f(15)=15$ を満たすとき,$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください.

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$$
AH=6,LN=4, PC\perp CR.
$$
この時,線分$OQ$の長さの二乗の値は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.

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$$
\frac{(3ab+2a+4b-6)^2}{13(a^2b^2+a^2+4b^2+4)}
$$

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$$
OH=10, DH=12, EF=13
$$
このとき$\Gamma$の面積としてありうるものの総和は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab\pi$と表せるので$a+b$を回答してください.

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$$
A(n)=(1\le x \le nを満たす1001と互いに素な整数xの個数)\\
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$$
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$$
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$$

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$$
47!\sum_{k=1}^{45}\
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$$

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