$$ a²+b²=c²,gcd(a,b,c)=1 $$ を満たす自然数a,b,cが存在するとき 任意の自然数tに対して $$ aₜ²+bₜ²=c²ᵗ,gcd(aₜ,bₜ)=1 $$ を満たす自然数aₜ,bₜが存在することを示せ
例)ひらがなで入力してください。
有理数rでcos(r)とsin(r)が共に有理数となるrの条件を求めよ
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全ての自然数に対し、偶数の時は2で割り、奇数の時は1を足して2で割る操作を繰り返すと必ず1になることを証明せよ。
特に指定はなし。
正整数列 $A_{n}$ を以下のように定義する $$ 1個の2 以上の正整数を要素に持ち,それらの総積が n に等しい $$ この時 $A_{2^{100}}$ としてありうる数列すべてについて,その要素の 総和を $97$ で割った余りを答えてください。 ただし,並び替えて一致するものも別々として数える。 例えば $A_{8}$ としてありうるものは $\lbrace8\rbrace,\lbrace2,4\rbrace, \lbrace4,2\rbrace, \lbrace2,2,2\rbrace$ でありその要素の総和は $8+2+4+4+2+2+2+2=26$ である。
正整数で答えてください
$\pi$ が $\dfrac{1000\pi}{1001}\risingdotseq 3.13845\cdots$ よりも大きいことを示せ
$$問 題$$ $実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$ $この関数が任意の実数x,yに対して恒等式$ $$f(x ^2+y)=f(kx ^2+2y)−f(3x ^2)$$ $を満たすとき、定数kの値を求めよ。$
$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$ $この関数が任意の実数x,yについて恒等式$ $$f(x^2+y)=f(kx^2+2y)-f(3x^2)$$ $を満たすとき、定数kの値を求めよ。$
正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は,任意の正整数 $a, b, c$ において,以下を満たしました. $$ f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2 $$また,$f(15)=15$ を満たすとき,$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください.
半角数字で解答してください.
鋭角三角形$ABC$について,その垂心を$H$,外心を$O$,線分$AB$,$BC$,$CA$の中点をそれぞれ$L,M,N$とします.円$OMN$と直線$LN,LO,LM$の交点のうち,$N,O,M$でないほうをそれぞれ$P,Q,R$とすると以下が成立しました. $$ AH=6,LN=4, PC\perp CR. $$ この時,線分$OQ$の長さの二乗の値は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.
正整数 $a,b$ であって以下が整数になるようなすべての組 $(a,b)$ について $ab$ の総和を求めてください $$ \frac{(3ab+2a+4b-6)^2}{13(a^2b^2+a^2+4b^2+4)} $$
鋭角三角形$ABC$について,その外接円を$\Gamma$,外心を$O$,垂心を$H$,点$A$から辺$BC$に下した垂線の足を$D$とします.さらに,直線$AO$と辺$BC$の交点を$E$,直線$AO$と$\Gamma$の交点を$F$とすると以下が成立しました. $$ OH=10, DH=12, EF=13 $$ このとき$\Gamma$の面積としてありうるものの総和は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab\pi$と表せるので$a+b$を回答してください.
関数$A(n),B(n)$を $$ A(n)=(1\le x \le nを満たす1001と互いに素な整数xの個数)\\ B(n)=(n\le x \le 1001を満たす1001と互いに素な整数xの個数) $$ と定めるとき,次の値を求めてください. $$ \sum_{n=1}^{1000}\quad \frac{A(n)^2}{A(n)-B(n)} $$
以下の式の値を $1000$ で割った余りを答えよ $$ 47!\sum_{k=1}^{45}\ \frac{2k^{3}+7k^{2}+5k-3}{(k+2)!} $$
正整数で回答してください
次の式を満たす相異なる正の整数$p,q$を全て求めよ。
$$p^{p+q}−q^{p+q}=(pq)^p−(pq)^q$$
$p+q$の値をそれぞれの組で求め総和した値を半角で入力してください。