₁₃₅C₃₀を7で割った余りを求めてください。
半角数字で入力してください。
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整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。
$x \equiv p \pmod{9797}$ $x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$
この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。
半角左詰め
$30! \pmod{31\times30\times 29^2}$ の値を求めてください．
半角の整数で入力してください．
3次の多項式 $P(x)$ は整数係数を持ち、すべての係数が整数であるとする。 0 でないある整数 $M$ について、$P(x)$ は以下の条件を満たす。 $kP(k) = M (k=1, 2, 3, 4)$ このとき、M が取りうる最小の正の整数値を求めよ。
半角でスペースなし
0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。 数字の重複を許さないとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。 ただし、a=0の場合も認めます。
互いに素な正整数q,pを用いて p/q と表せるため、p+qを解答してください。
1から2pの2p個の異なる自然数を全て並べる時に隣り合う二つの積が常に偶数になる通りをSpとするとき、それがpで最大何回割れるか答えろ. (ただしpは素数とする)
(半角の自然数が答え)
$$問 題$$ $実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$ $この関数が任意の実数x,yに対して恒等式$ $$f(x ^2+y)＝f(kx ^2+2y)−f(3x ^2)$$ $を満たすとき、定数kの値を求めよ。$
$p=3, \quad q=5, \quad r=7$
$X = p^q + q^p$ $Y = q^r + r^q$ $Z = r^p + p^r$
$N = X^p + Y^q + Z^r$
このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。
与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030
因数分解された式のみ回答
0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。 数字の重複を許すとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。 ただし、a=0の場合も認めます。 (似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)
互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため p+qを解答してください。
$\alpha^5-1=0$ を満たす複素数 $\alpha$ に対して関数 $f$ を $f(x)=\alpha x+1$ で定義したとき， $f^{100}(1)$ としてありうる値の総和をすべて求めてください. ただし，$f^{100}(x)$ は $f$ を $100$ 回合成した関数とします.
例）非負整数を答えてください.
ごめんなさい解答形式を書いてなかったです
$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。 $P(0)＝6$ $P(1)＝4$ のとき、$P(4)$の値を求めよ。
以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。 $$ x^{y}=y^{x-y} $$
半角数字で解答して下さい。
