nmoon君は黒板に $60$ の正の約数を一つずつ全て書き込みます.そして,以下の操作をできなくなるまで行います.
全ての操作が終了したとき,黒板に書かれた数の総和としてあり得る値の総和を求めてください.
正整数で答えてください.
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以下の式を満たす正の整数の組 $(m,n)$ 全てについて,$m + n$ の総和を求めてください.
$$(mn - 1)^2 + (m + n)^2 = 650$$
$0$ 以上 $1$ 以下の実数 $a_{1} , a_{2} , a_{3}$ について,以下の値の最大値を求めてください.
$$a_{1} + 2a_{2} +3a_{3} +4\sqrt{a_{1}(1-a_{1}) + a_{2}(1-a_{2}) + a_{3}(1-a_{3})}$$
求める値を $M$ としたとき,$10000M$ の整数部分を解答してください.
横一列に並んだ $14$ 個のオセロの石があります.そして,以下の操作を何度か行い,黒面を向いた石の個数をできるだけ少なくします.
全ての操作の終了後に黒面を向く石の個数を スコア とします.最初の石の配色は $2^{14}$ 通りありますが,これら全ての場合においてスコアの総和を求めてください. 但し,オセロの石は,片方が黒面で,もう片方が白面であるとする.
正三角形 $ABC$ の内部に点 $P$ をとったところ,以下が成立しました.
$$AP = 10 , BP = 14 , CP = 16$$
このとき,正三角形 $ABC$ の面積を求めて下さい.
求める値を $2$ 乗した値は正整数となるので,その値を求めて下さい.
$$x^4-xy^3+y^2=11, x^3y-y^4+x^2=13$$ を満たす複素数の組 $(x,y)$ について,$\dfrac{y}{x}$ としてありうる値の総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
正の整数 $n$ について,$f(n)$ で $n$ の正の約数であり,$n$ の最小の素因数を素因数に持たないようなもののうち最大のものを表す.例えば,$f(2\times 3^2)=3^2, f(2\times 3\times 5)=3\times 5$ である.ただし,$f(1)=1$ と扱う. また,$g(n)$ で $n$ の正の約数 $d$ すべてについて $f(d)$ の総和を表す. このとき, $$g(2\times 3\times 7\times 11\times 13\times 17)-g(5\times 7\times 11\times 13\times 17)$$ を求めよ.
複素数$\alpha,\beta,\gamma$が $$\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=9\\ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=25\\ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=2025 \end{cases}$$ を満たしています。このとき、$f(x)=0$ が $\alpha,\beta,\gamma $を解に持ち、かつ最高次係数が $1$ であるような $3$ 次関数 $f(x)$ が一意に存在するので、$❘f(2)❘$ を求めてください。
解答は正の整数値になるので、その値を解答してください
$1000$ の正の約数の集合を $D$ とします.また,$999$ 次方程式
$$x^{999}+x^{998}+\dots+x+1=0$$
の $999$ 個の解を $x=x_1,x_2,\dots,x_{999}$ とします.このとき,
$$\sum_{d\in D}^{}\sum_{s=1}^{999} x_s^d$$
の値を求めてください.
答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.
$14\times 14$ のマス目に以下のように整数を書き込む.ただし,左から $m$, 上から $n$ 番目のマスを $(m,n)$ で表すものとする.
いま,PDC 君は $(m,n)$ にいるとき $(m+1,n), (m,n+1)$ に瞬間移動することができ,またそれ以外の移動をすることができない.あるマスからあるマスへの経路について,全ての訪問したマス(出発地点と到着地点を含む)に書き込まれた数字の総和をスコアとする. $(1,1)$ から $(14,14)$ まで移動するとき,スコアが最小となるような移動方法はいくつあるか?
$p^2q+16r=2s^2$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ すべてについて,$pqrs$ の総和を解答せよ.
$26$ 種類あるアルファベットの大文字からなる文字列に対し,次のようにして整数を対応付けます.
例えば,文字列 $CAT$ は,$C$ が $3$ 番目,$A$ が $1$ 番目,$T$ が $20$ 番目のアルファベットであるから $3120$ となります.このように,ある文字列に対応付けられる整数は一意に定まります. いま,ある文字列に対応付く整数が $12012311821$ となりました.元の文字列として考えられるものはいくつありますか?
答えは非負整数値となるので,それを半角で入力してください.
$13$ の倍数である $9$ 桁の正整数であって,上 $3$ 桁の整数も上 $6$ 桁の整数も $13$ の倍数であるようなものはいくつありますか?