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問題文

nmoon君は黒板に $60$ の正の約数を一つずつ全て書き込みます．そして，以下の操作をできなくなるまで行います．

• 黒板に書かれた $2$ つの正の整数 $x,y$ について，黒板から $x,y$ を消し，$x,y$ の最大公約数と最小公倍数を黒板に書き込む．但し，このとき，操作前と操作後での黒板に書かれた数が，重複を許して全て一致することはないようにする．

全ての操作が終了したとき，黒板に書かれた数の総和としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

$0$ 以上 $1$ 以下の実数 $a_{1} , a_{2} , a_{3}$ について，以下の値の最大値を求めてください．

$$a_{1} + 2a_{2} +3a_{3} +4\sqrt{a_{1}(1-a_{1}) + a_{2}(1-a_{2}) + a_{3}(1-a_{3})}$$

解答形式

求める値を $M$ としたとき，$10000M$ の整数部分を解答してください．

問題文

以下の式を満たす正の整数の組 $(m,n)$ 全てについて，$m + n$ の総和を求めてください．

$$(mn - 1)^2 + (m + n)^2 = 650$$

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

正三角形 $ABC$ の内部に点 $P$ をとったところ，以下が成立しました．

$$AP = 10 , BP = 14 , CP = 16$$

このとき，正三角形 $ABC$ の面積を求めて下さい．

解答形式

求める値を $2$ 乗した値は正整数となるので，その値を求めて下さい．

問題文

$$x^4-xy^3+y^2=11,　x^3y-y^4+x^2=13$$ を満たす複素数の組 $(x,y)$ について，$\dfrac{y}{x}$ としてありうる値の総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

$1000$ の正の約数の集合を $D$ とします．また，$999$ 次方程式

$$x^{999}+x^{998}+\dots+x+1=0$$

の $999$ 個の解を $x=x_1,x_2,\dots,x_{999}$ とします．このとき，

$$\sum_{d\in D}^{}\sum_{s=1}^{999} x_s^d$$

の値を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，線分 $BC,CA$ の中点を $M,N$ とし，三角形 $AMN$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円，半直線 $AB$ がそれぞれ $A$ でない点で交わったのでそれぞれを $D, E$ とする．$MD=5, AB=34, BE=7$ が成り立つとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ のうち，次の条件を満たすものはいくつありますか？

• $n$ の $k$ 個の正の約数を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_k$ としたとき，任意の $1$ 以上 $k-1$ 以下の整数 $i$ について $d_{i+1}-d_i\leq40$ が成立する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の奇数とします．いま，円に内接する凸 $n$ 角形 $P_1P_2\dots P_n$ があり，$k=1,2,\dots,n$ について角 $P_k$ の大きさを ${a_k}^{\circ}$ としたところ，

$$\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}a_{2k}=7777$$

が成立しました．このとき，度数法での角 $P_1P_2P_n$ の大きさとして考えられる値の総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して，スコアを
$$
\sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k)
$$
で定めます．$2024!$ 通りの並べ替えに対して，スコアとしてあり得る値はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$a, b$ を非負整数とします。xy平面上の点 $(0, 0)$から点 $(a, b)$まで、$x$ 軸正方向に1進むか、$y$ 軸正方向に1進むかで到達するための道の数を $C(a, b)$ とします。

$0 \leq a < 1100 $ かつ $0 \leq b < 1100 $ であるような非負整数組 $(a, b)$ であって、$C(a, b)$ が奇数であるようなものの個数を答えてください。

解答形式

答えは非負整数なので，その数値を回答してください．OMCと同じです．

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．