解説
$S= a_1+a_2+a_3+…+a_{n-1}+a_{n}$とする。
$S$が偶数となるような組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{n-1},a_{n})$の個数を$A_{n}$とおく。
$A_{n+1}$が偶数となる条件は、
$A_n$が偶数で$a_{n+1}$が偶数 または $A_n$が奇数で$a_{n+1}$が奇数
ゆえに$A_{n+1}=5A_n+5(10^n-A_n)$
$A_{n+1}=5・10^n$
したがって$A_n=5・10^{n-1}$
$S$が$9$で割り切れるような組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{n-1},a_{n})$の個数を$B_{n}$とおく。
組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{n-1},a_{n})$を$10^{n-1}a_1+10^{n-2}a_2+10^{n-3}a_3+…+10a_{n-1}+a_{n}$とみなせば、$B_{n}$は$0$以上$10^{n}-1$以下の$9$の倍数の個数に等しいことが分かる。
ゆえに$B_{n}=\dfrac{10^{n}-1}{9}+1=\dfrac{10^{n}+8}{9}$
$S$が$18$で割り切れるような組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{n-1},a_{n})$の個数を$C_{n}$とおく。
$B_n$が$2$で割り切れるような場合について考える。
$9$の倍数の下一桁は
$0,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,9,8,7,6,5,4,3,2,1,…$の順でループする。
ゆえに$C_n=\dfrac{B_n-2}{2}+1=\dfrac{1}{2}B_n=\dfrac{5・10^{n-1}+4}{9}$
$A_n,B_n,C_n$に$n=1031$を代入して
$A_{1031}=5・10^{1030}$
$B_{1031}=\dfrac{10^{1031}+8}{9}$
$C_{1031}=\dfrac{5・10^{1030}+4}{9}$
$A_{1031}+B_{1031}-C_{1031}+N=10^{1031}$より
$N=10^{1031}+C_{1031}-A_{1031}-B_{1031}$
$=\dfrac{4(10^{1031}-1)}{9}$
よって$N$は$4$が$1031$個続く整数であるから、
$N$の各桁の和は$4×1031=4124$
補足①
$B_n$について
$9$の倍数は各桁の和が$9$の倍数であることを利用した。
補足②
$\dfrac{4(10^n-1)}{9}$は$4$が$n$個続く整数であることの証明
$4$が$n$個続く整数は$$\sum_{k=1}^{n}\quad(4・10^{n-1})$$
と表されるので、等比数列の和の公式より$$\sum_{k=1}^{n}\quad(4・10^{n-1})=\frac{4(10^n-1)}{10-1}=\frac{4(10^n-1)}{9}$$
ゆえに$$\frac{4(10^n-1)}{9}=\sum_{k=1}^{n}\quad(4・10^{n-1}) $$
より示された。
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