PDC011 (F)

問題文

$900$ 個の白丸が円形に並んでいる．ここから次の条件を満たすようにいくつかの丸 ($1$ つ以上) を黒く塗る方法は何通りあるか？

• 黒く塗られた丸がランダムで一つ選ばれ，また $1$ 以上 $450$ 以下の整数 $k$ がランダムで与えられる．この時，これらがどのように選ばれても，選ばれた丸から時計回りと反時計回りに $k$ 個先の丸の少なくとも一方は黒く塗られている．

以下で定義される関数 $f(n)$ について, $f(1000)$ を互いに素な正整数 $a,b$ を用いて, $\dfrac{a}{b}$ と表したとき, $ab$ が$2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

$$
f(n)=\sum_{m=1}^{n}\frac{mn^{n-m-1}}{(n-m)!}
$$

問題文

holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました．
分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び，下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか．

• 『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』は隣り合ってはならない．（こよクロ（『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』のユニット）は解散しているため）
• 『ラプラス・ダークネス』の左右のどちらか隣に『鷹嶺ルイ』がいないといけない（『ラプラス・ダークネス』は『鷹嶺ルイ』が近くにいないと不安になってしまうため．しかし，『鷹嶺ルイ』の隣に『ラプラス・ダークネス』がいなくても良い．）

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

$3\times 1000$ の $2$ つのマス目 $A,B$ があり，これらの $6000$ マスのうち $0$ 個以上に印をつける．印の付け方であり，以下を満たす方法は $N$ 通り存在する．$N$ が $2$ で割り切れる回数を解答せよ．

• $A$ または $B$ から取り出せる $2\times 2$ の部分マス目（連結成分）であり，印のついたマスの個数が $1$ または $3$ であるようなものを $M$ とすると，$M\geq 1998$ である．

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とし，頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします．ここで，線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると，以下が成り立ちました．
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき，線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．

正の整数 $m$ に対し,
$$f(m)=\sum_{k=0}^m(k+1)k2^k\frac{(2m-k-1)!}{(m-k)!}$$
と置きます.このとき, $f(5000)$ を素数 $5003$ で割った余りを求めてください.

$$\int^1_0\int^{\sqrt{1-z^2}}_0\sqrt{1-z^2-y^2}dydz$$

数列${a_n}$を以下のように定義する。
$$
\begin{eqnarray}
a_1&=&\int_0^1dx\\
a_{n+1}&=&\int_0^{a_n+1}x^{a_n}dx
\end{eqnarray}
$$
このとき、$\log_{10}(a_5)$の値を求めよ。

次の値を小数第2位まで答えよ。
$$\int_0^1\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2}2}dx$$
ただし必要ならば以下のリンクを使ってもよい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/正規分布#正規分布表

この問題には、必ず最初に解答をしてください。
解答はどんなものでも構いません。もし迷った際は、以下の文章をコピーペーストしても構いません。
「生命、宇宙、そして万物についての究極の疑問の答えは42です」
最初に解答されなかった場合、以降の解答は無効となります。

この問題は、コンテスト機能のテストをするために投稿します。大喜利でもどうぞ。
$$2+2=?$$

$(x,y)$を$x^2+y^2=1,x\geqq0,y\geqq0$を満たすようにとる。
$z=(x,y)\cdot(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2})$としたとき、以下の値を求めよ。
$$\int_0^1zdx$$