400A

${}$　西暦2026年問題第10弾です。今年の最終回を迎えました。最終回はどこから手を付けていいのか迷ういそうな問題を用意しています。とはいえ、タネに気づけばサクッと解けるように仕込んであります。じっくりと腰を据えてお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める$x$の値を小さい順に2行に分けて半角で入力してください。「$x=$」の記載は不要です。
（例）$x=$110, 2026 → 《1行目》$\color{blue}{110}$、《2行目》$\color{blue}{2026}$

問題文

$\sin \angle BAC = \dfrac{7}{8}$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ について，$B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $D$，$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ とします．また，線分 $BC$ 上に点 $F$ を $\angle DEF = 90^\circ$ を満たすように取ったところ $BF=2, CF=6$ が成立しました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角整数値で解答してください．

問題文

ある鋭角三角形ABCにおいてAから対辺への
垂線の足をD,ADの中点をM,△ABCの内心を
IとするとAC//MIである。
BD=1,CD=6のとき△ABCの面積を求めよ。

解答形式

ある程度シンプルな形で答えよ。

互いに外接する3つの円 $J,K,L$ があり，$K$ と $L$ の接点を $\mathrm A$，$L$ と $K$ の接点を $\mathrm B$，$J$ と $K$ の接点を $\mathrm C$ とする．$\triangle\mathrm{ABC}$ について，頂点 $\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C$ の対辺の長さをそれぞれ $a,b,c$ とするとき，円 $J,K,L$ の半径を求めよ．

ただし，解答に際しては $a=17,\ b=13,\ c=14$ の場合の $J$ の半径の値を答えよ．
整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ．

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が，
$$
2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2+8\sqrt{abcd}
$$
を満たす時，以下の値の最小値を求めて下さい．ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください．
$$
\dfrac{6a+8b+9c}{d}
$$

問題文

△ABCの内接円が辺ABと点D、辺BCと点E、辺CAと点Fで接する。角ACBの二等分線と辺ABの交点をG点Dから線分EFに引いた垂線と辺BCの交点をH とすると、
$$BG=8,BD=6,BH=\frac{31}{2}$$
となった。
この時HCの長さを求めよ。

解答形式

求める長さは互いに素なa,bで$$\frac{a}{b}$$と表せるのでa+bを解答してください。

問題文

$f(x)=\frac{3-x}{ \sqrt{3(x+2)(-2x+1)}}$ $ (-2<x<0)$ とする
$f(x)$ が最小値を取るときの $x$ の値を求めよ

解答形式

解答は$-\frac{㋐}{㋑}$の形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください

問題文

$4$ 点 $\mathrm{A,B,C,D}$ が $\mathrm{AB=BC=CD}=1,\mathrm{DA}=2$ を満たし、さらに線分 $\mathrm{BC}$ と線分 $\mathrm{DA}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わっている。線分 $\mathrm{AP}$ の長さが最大となるとき、

$$
\mathrm{AC}=\frac{\sqrt{\fbox{アイ}-\sqrt{\fbox{ウエオ}\ }+\sqrt{\fbox{カキクケ}+\fbox{コサ} \sqrt{\fbox{シスセ}\ }\ }\ }}{\fbox{ソ}}
$$

である。ただし、$\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。

ヒント

必要であれば以下の事実を用いてよい。

・実数 $a,b,c$（ただし $a\neq-64$ ）について、$\displaystyle p=\frac{b+c-a^2}{a+64},q=64p+a^2-b$ とおくと、$x$ についての恒等式

$$
1024x^4+64ax^3+bx^2+2cx+p^2-q=(32x^2+ax+p)^2-q(x-1)^2
$$

が成り立つ（これは、右辺を展開して係数比較することで簡単に確かめられる）。

解答形式

ア〜ソには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
文字列「アイウエオカキクケコサシスセソ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。

問題文

$\displaystyle\frac{728^{3^m}+730^{3^n}}{3^{m+n}}$ が整数となるような正整数 $(m,n)$ の組すべてについて, $mn$ の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

nを一桁の自然数とする。xについての多項式、

∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt

について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。

解答形式

半角で一桁の数字を入力してください。

設問4

数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式
$$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

設問1

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1, a_2 = 4$ および漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = n \cdot 2^n$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

半角1スペースで答えのみ