第1問

第3問

$t$が実数全体を動くとする。
このとき、点$$(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2})$$はどのような図形を描くか答えよ。

解答する際の注意

答えの図形が正確に分かるようにお答えください。

第2問

次の空欄$(ア)～(エ)$に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
関数$f(x)$を$$f(x)=\frac{log(x)}{x}$$と定める。
$f(x)$は、$x=(ア)$で、極大値$\frac{(イ)}{e}$をとる。
また、$$\int_1^e{f(x)dx}\quad$$
の値は$\frac{(ウ)}{(エ)}$である。

ただし、対数は自然対数を表し、$e$は自然対数の底とする。

第4問

$θ$を媒介変数とし、次のように表される曲線$C$を考える。$$\begin{cases}x=θ-sinθ\\y=1-cosθ\end{cases}$$
$0≦θ≦2π$として、この曲線$C$の長さ$L$を求めよ。

問題文

数列{$a_{n}$}を次の条件により定める。
$$
a_{1}=a_{2}=1,
a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n}=0
　(n=1,2,3,...)$$
これについて、次の問いに答えよ。
$(1)$　$a_{3}$を求めよ。
$(2)$　$a_{2025}$を求めよ。
$(3)$　$\sum_{n=1}^{2025}\quad{a_{n}}$を求めよ。

解答形式

答えのみを半角算用数字で答えてください
例えば(1)の答えが3、(2)の答えが100、(3)の答えが80のときは、
3,100,80
のように答えてください。

第5問

実数$x,y$が不等式$x^2+y^2=1$をみたすとき、$x+y$の最大値を求めよ。

問題文

$n ≧2$を整数、$p $を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式
$x^n - (x-p)^n = p^n$
を考える。
$p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。

解答形式

何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません

問題文

与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030

回答の仕方

因数分解された式のみ回答

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(3)$ $\lim_{n\to \infty}P(n)$を求めよ。

(4)は，自作場合の数・確率1-4につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。

1から2pの2p個の異なる自然数を全て並べる時に隣り合う二つの積が常に偶数になる通りをSpとするとき、それがpで最大何回割れるか答えろ.
(ただしpは素数とする)

(半角の自然数が答え)

問題文

自然数nを用いた素数2^n+5^(n+1)は存在するか。

解答形式

証明する形式。

問題文

整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。

$x \equiv p \pmod{9797}$
$x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$

この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。

解答形式

半角左詰め

$$問　題$$
$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yに対して恒等式$
$$f(x ^2+y)＝f(kx ^2+2y)−f(3x ^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$