[B] Make Square

問題文

$60$ 以下の正整数 $n$ に対して，それを $2,3,4,5$ で割ったあまりをそれぞれ $a,b,c,d$ とします．$xy$ 平面上に $P(a,b)$ と $Q(c,d)$ をとったとき $PQ= 1$ となるような $n$ の個数を解答してください．

問題文

上から $i$ 段目 $(1 \leq i \leq 2026)$ に $i$ 個の正整数を並べて三角形を作る方法であって，どの段も総和が $2026$ となるようなものの個数を素数 $2029$ で割ったあまりを解答してください．

問題文

$30$ の正の約数を並べ替えた数列 $A$ としてありうるもの全てに対する，以下の操作方法の個数の総和を解答してください．

• 「連続する $2$ 数 $A_i,A_{i+1}$ であって $A_i \mid A_{i+1}$ を満たすものを $1$ つ選び，それらをともに $A$ から削除する」という操作を $4$ 回行い，$A$ を空にする．

問題文

平方因子を持たない正整数 $n$ であって，$\dfrac{\phi(n)}{\gcd(n,\phi(n))} = 18$ を満たすものの総和を解答してください．

問題文

$S=\lbrace 0,1, \ldots , 30 \rbrace$ とします．関数 $f:S \rightarrow S$ であって，以下を満たすようなものの個数を $N$ とします．

• 任意の $x,y \in S$ について，$x^{12}-y^{12}$ が $31$ の倍数ならば，$f(x)^{25}-f(y)^{25}$ も $31$ の倍数．

$N = a \cdot b^c$ であるような正整数 $a,b,c$ について，$a+b+c$ の最小値を解答してください．

次のルールで整数を10個1列に並べて書く
・左端は21である
・隣り合う2数について、右の数は左の数の2倍の数か、左の数から3を引いたものである
あり得る整数の列はいくつありますか

問題文

すべての項が素数であるような数列 $a_1, a_2, …, a_N (a_1 \le a_2 \le … \le a_N)$ であり，$a_1^2+a_2^2+…+a_N^2=999$ を満たすもののうち，$N$ が最小のものすべてについて，$a_1+a_2+…+a_N$ の総和を解答せよ．

以下の操作を数字が$100$以下になるまで繰り返し行います．
・下$2$桁の数字を取り除き、残った数字にかける．
たとえば，$2108$は，$21×8=168$となります．
このとき、$2$回目の操作までに数字が$100$になる数を今年の数と呼ぶことにします．
今年の数のうち、2026は何番目に小さいですか？
ただし、100は今年の数に含まれないものとします.

関数$A(n),B(n)$を
$$
A(n)=(1\le x \le nを満たす1001と互いに素な整数xの個数)\\
B(n)=(n\le x \le 1001を満たす1001と互いに素な整数xの個数)
$$
と定めるとき,次の値を求めてください.
$$
\sum_{n=1}^{1000}\quad \frac{A(n)^2}{A(n)-B(n)}
$$

問題文

ある正整数 $n$ が今年の数であるとは $n=a^b-(a-1)^b$ とあらわせるような正整数の組 $(a,b)$ が存在しない数であるとします.例えば$2026$は今年の数です.
このとき,$2026$以下の今年の数はいくつありますか.

問題文

正三角形 $ABC$ の内部に点 $P$ をとったところ，以下が成立しました．

$$AP = 10 , BP = 14 , CP = 16$$

このとき，正三角形 $ABC$ の面積を求めて下さい．

解答形式

求める値を $2$ 乗した値は正整数となるので，その値を求めて下さい．

問題文

全ての桁が偶数からなる正整数を今年の数とします．例えば $2026$ は今年の数です．
$2026$ 以下の今年の数は全部でいくつありますか．