問題4

2種類のお菓子A、Bがそれぞれ24個ずつある、これをX, Y, Zの3人で余りなく分けることにした。ここで、ある人が1個ももらわないお菓子の種類があってもよい、X、Y、Zの3人のうちに、以下の条件をみたす2人が存在しないような分け方は何通りありますか。

条件:2人のうち1人はAをa個、Bをa'個もらい、もう1人はAをb個、Bをb'個もらうとき、a≤a'かつb≤b'かつa+b<a'+b'が成り立っている。

平面上の (0,0)から (7,7) まで，次の 2 つの条件をともに満たしながら格子点上を移動する方法は何通りありますか

・格子点 (x,y) にいるとき，次に移動できる格子点は
(x+1,y),(x,y+1) のいずれかである
・移動の途中で (0,0) でない格子点 (t,t) を通過した場合，格子点
(2t,2t) を通過することはできない
(1≦t≦3,tは整数)

ボール100個をランダムに20人に分ける。10人が1組の生徒で、10人が2組の生徒である。ボールが全く貰えない人がいてもよい。全てのボールは区別できず、分け方は$ _{119}C_{19}$通りあるが、それぞれの分け方は同様に確からしい。
1組の生徒のうち、それぞれの持つボール数の総積をポイントとする。ポイントの期待値は互いに素なA,Bで$\frac{A}{B}$と表せるので、A+Bを解答せよ。

3つの空箱がある。次のルールで2人で交互に石を箱に入れる。
・どちらかの行動を行う
　・1つの箱に1つ石を入れる。
　・既に石が入っている1つの箱に、今入っている個数の石をその箱に入れる
(つまり、石の個数が倍になる)
・ただし、既に箱にN個以上入っている場合はこれ以上石を入れられない

全ての山の石の個数をそれぞれN以上にした方が勝ちである。後手必勝となる2025以下のNの総和を求めよ。

N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。

次のルールで整数を10個1列に並べて書く
・左端は21である
・隣り合う2数について、右の数は左の数の2倍の数か、左の数から3を引いたものである
あり得る整数の列はいくつありますか

n以下の全ての自然数の集合Sの部分集合Tは次を満たした。
・Tの任意の要素x,yについて、xyはTに含まれない。
nに対するTの要素数の最大値をf(n)とする。
このとき、ある人は命題Qnを唱えた。
「Tの要素数がf(n)となるTは1つしかない」
Qnが偽となる2025以下のnの総和を求めよ。

どの4頂点を選んでもそれが閉路にならない、800頂点の単純平面グラフの辺の数の最大値を求めよ。

問題文

以下の等式を満たす自然数 $a,b,c$ の組を全て求めよ。
$$a^b(c-1)+a+c=2^{bc-1}-a-b=2026$$

解答形式

$a,b,c$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2,3
12,34,56

問題文

以下の二つの等式を満たす自然数 $a,b,c$ の組を全て求めよ。
$$\begin{cases} a-b=3c \\ a^3-b^3-c^3=c^5 \end{cases}$$

解答形式

$a,b,c$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2,3
12,34,56

問題文

$1$ 以上 $8$ 以下の数が $8$ 個あります．$8\times 8$ の白いマス目に，$8$ 個の数を棒グラフとして黒で書き込むことにしました．このとき，このマスから $2\times 2$ の正方形を切り取りとる方法のうち，黒マスがちょうど $2$ マスである方法の数を最初の $8$ 個の数のスコアと呼ぶことにします．$8$ 個の数の選び方 $8^{8}$ 通り全てに対してのスコアの総和を答えてください．

解答形式

末尾に「（通り）」などをつけず，非負整数で答えてください．

問題文

偶数桁の回文数のうち、素数であるものをすべて求めよ。

解答形式

答えの総和を解答してください。