整数問題3

問題文

以下の二つの等式を満たす自然数 $a,b,c$ の組を全て求めよ。
$$\begin{cases} a-b=3c \\ a^3-b^3-c^3=c^5 \end{cases}$$

解答形式

$a,b,c$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2,3
12,34,56

問題文

$0<m<n$ とする。以下の等式を満たす自然数 $m,n$ を全て求めよ。
$$\frac{(m+n-1)^4-(m+n-2)^4+m-n+1}{4(m+n-1)+m-n}=2026$$

解答形式

$m,n$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2
12,34

問題文

自然数 $a,b,c$ が互いに異なる自然数であるとき
$$N=(9a-1)^2+9b^2+9c^2=(9a+1)^2-9b^2-9c^2$$と表される自然数 $N$ の最小値を求めよ。

問題文

$$\frac{2^{22}-22^2-4-44^4}{2 \times 22+4 \times 44}= \space ?$$$?$ に入る自然数を答えよ。

問題文

$2025^{2026}+2026^{2025}$ について以下の問いに答えよ。

$(1)$ $625$ で割った余りを求めよ。

$(2)$ 下 $4$ 桁の数を求めよ。

解答形式

答え二つを半角カンマ(,)で区切って答えてください。
例)123,456

追記：解答を修正しました。答えが合っているのに誤答判定された方は申し訳ございません。

問題文

$n>10$ とする。
$n$ 進法で $2026_{(n)}$ と表される自然数が $2026$ で割り切れるような自然数 $n$ を小さいものから $3$ つ足し合わせた数を答えよ。

必要なら $1013$ は素数であること、 $m^2 \equiv 937 \pmod {1013}$ を満たす $1013$ 以下の自然数 $m$ は $2$ つのみで、その $1$ つが $472$ であることを用いてよい。

$m^{n+1}+n^m+1=2026$ を満たす正整数の組 $(m,n)$ を全てについて，$mn$の総和を求めてください．

問題文

ある神社ではおみくじを販売していて、おみくじの内容について次のようなことが分かっています。

・くじは2026本あり、それぞれに運勢が1つ書いてある。
・運勢は7種類あり、大吉、中吉、小吉、凶、大凶、吉、平である。
・(大吉の本数):(中吉の本数)=5:7
・(中吉の本数):(小吉の本数)=9:11
・(小吉の本数):(凶の本数)=7:4
・(凶の本数):(大凶の本数)=11:8
・(吉の本数):(平の本数)=5:2

平の本数を求めてください。

解答形式

答えの数字を半角数字で入力してください。

雑談

ここ3年ぐらい吉しか引いてないです。
(追記)今年も吉だったので4年連続です。

問題文

$1$ 以上 $8$ 以下の数が $8$ 個あります．$8\times 8$ の白いマス目に，$8$ 個の数を棒グラフとして黒で書き込むことにしました．このとき，このマスから $2\times 2$ の正方形を切り取りとる方法のうち，黒マスがちょうど $2$ マスである方法の数を最初の $8$ 個の数のスコアと呼ぶことにします．$8$ 個の数の選び方 $8^{8}$ 通り全てに対してのスコアの総和を答えてください．

解答形式

末尾に「（通り）」などをつけず，非負整数で答えてください．

問題文

カボチャ$10$個とキャンディ$31$個を円周上に並べる方法は何通りあるか。
ただし、カボチャとキャンディはどちらも区別できない。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

非負整数 $n$ に対して, $a_n$ を以下で定めます.$$a_0=1,\quad a_{n+1}=10a_n+4$$ このとき, $a_n$ が累乗数となるような非負整数 $n$ に対して, $a_n$ の総和を求めてください.
ただし, 累乗数とは, 自然数 $a$ と$2$ 以上の自然数 $b$ を用いて $a^b$ と表せる数です.

解答形式

例）整数を答えてください.

問題文

正$10$角形が半径$31$の円に内接している。
正$10$角形の面積を求めよ。

解答形式

正$10$角形の面積は互いに素な正整数$a,b$及び正整数$c$と平方因子をもたない正整数$d$を用いて$\dfrac{b\sqrt{c-2\sqrt{d}}}{a}$と表されるので、$a+b+c+d$の値を半角数字で入力してください。