ゲーム

以下の式を満たす正整数の組 $(x,y,z)$ すべてについて，$xyz$ の総和を求めてください．
$$x^3+y^3+z^3+\dfrac{xyz}{16}=2026$$

$n$進法でも$n+1$進法でも$3$桁の回文数になるような正の整数をn-今年の数と定義します．
たとえば，$2026$は$13$進法で$BCB_{(13)}$,$14$進法で$A4A_{(14)}$となるので13-今年の数です．
すべての7-今年の数について，その総和を求めてください．
ただし，$n$進法における$3$桁の回文数とはある正整数$X(1\le X\le n-1),Y(0\le X\le n-1)$を用いて$XYX_{(n)}$と表せる数のこととします．

$m^{n+1}+n^m+1=2026$ を満たす正整数の組 $(m,n)$ を全てについて，$mn$の総和を求めてください．

問題文

ab-3c-d^2 = e …①
3cd+d^2+e^2 = abd …②
a+8+2d = b …③
a+11+e = b+3 …④
を全て満たす自然数の組(a,b,c,d,e)のうち、a+b+c+d+eが最小となるようなものを求めよ。

解答形式

a+b+c+d+e の値を半角数字で

${}$　西暦2026年問題第8弾です。$2026$を$2^{26}$とする強引な西暦問題となりました。ついでに書くと、どこかに類題がありそうで、その点でも恐れています。皆さんはそんな僕の恐れなど気にせずにお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は1行目に$p_3$の値を、2行目に$p_4$の値を、それぞれ半角で入力してください。「$p_3=$」「$p_4=$」といった記載は不要です。
（例）$p_3=$108、$p_4=$2026 → 《1行目》$\color{blue}{108}$、《2行目》$\color{blue}{2026}$

問題文

勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます． 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します．

しかしながら，魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて，勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます．

勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが，それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください．ただし，その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

数列${a_n},{b_n},{c_n}$を
$a_1=300,b_1=400,c_1=500$
$a_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2b_n^2+2c_n^2-a_n^2}$
$b_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2c_n^2+2a_n^2-b_n^2}$
$c_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2a_n^2+2b_n^2-c_n^2}$
で定めるとき、3辺を$a_n,b_n,c_n$とする三角形の面積を$S_n$とする。
この三角形が退化しないことは証明できるので、$S_8$の値を求めよ。ただし、求めるべき値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac a b$と表せるので$a+b$を解答せよ。

問題文

$1$ 以上 $5$ 以下の整数しか項に持たない全 $2025$ 項の数列があり，任意の連続する $3$ 項において以下を満たします．

• $3$ 項の順番を並び替えることで等差数列になる．

例えば，$1, 1, 1, 1, \ldots$ や $1, 3, 5, 4, \ldots$ は条件を満たします．このような数列は $N$ 個あります．$N$ を素数 $677$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

${}$　西暦2026年問題第7弾です。見た目も実際もがっつり整数問題です。ひととき整数と戯れてみてください。
　なお、$2026$より大きい整数の素数判定が待ち受けています。適宜、素数表（たとえば https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_numbers ）を利用するなり、Wolfram|Alpha（ https://www.wolframalpha.com ）を利用するなりしてください。

解答形式

${}$　解答は求める値をそのまま半角で入力してください。
（例）107 → $\color{blue}{107}$
　求められているのは平方数と素数に挟まれた数であることに注意してください。

問題文

$86^{48}-64$ を $864$ で割った余りを求めよ。

問題文

$i=1, 2, \ldots, 999$ に対して，数 $i$ が書かれたカードがそれぞれ $1001$ 枚あり，同じ数が書かれたカードは区別しないものとします．これらを左右 $1$ 列に並べる方法であって，次の条件を満たすカード $X$ がちょうど $1$ 枚あるようなものが $N$ 通りあるものとします．

• カード $X$ は一番右のカードではない

• カード $X$ に書かれた数は，カード $X$ の右隣のカードに書かれた数より大きい

$N$ を $997$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$

このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．