ABC2(E)

問題文

$2$ 行 $15$ 列のマス目があり，初めモンスターは $1$ 行 $8$ 列のマスにいます．モンスターが $2$ 回以上同じマスを通らないようにして隣り合う（線分を共有する）マスに移動することを繰り返すとき，すべてのマスを通るような移動方法は何通りありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$1,2,\dots,8$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_8$ について，そのスコアを

• $i=1,2,\dots,7$ のうち，$a_i\lt a_{i+1}$ なるものの総和

と定めます．$8!$ 通りすべての並び替えのスコアの総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

どの位の数字も $0$ でない $11$ 桁の正整数であって，どの連続する $4$ 桁の正整数も $11$ の倍数であるようなものは何個ありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正整数からなる有限集合 $V$ に対し，その要素数を $f(V)$ ，要素の総和を $g(V)$ とします．相異なる正整数からなる有限集合 $S$ であって，次を満たすものを良い集合とします．

• $S$ の任意の部分集合 $T$ について，命題「 $f(T)$ が奇数ならば $g(T)$ は素数である」は真である．

$f(S)$ が最大となるような良い集合 $S$ のうち，$g(S)$ が最小となるようなものは一意に定まるので，その要素の総積を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正六角形 $ABCDEF$ の内部に，正六角形 $GHIJKL$ があります．また，平行な $2$ 直線 $WX,YZ$ の距離を $f(WX,YZ)$ とします．このとき，これらは以下をすべて満たしました．

• $AB\parallel GH,BC\parallel HI$
• $f(AB,GH)\lt f(AB,KJ)$
• $f(AB,GH)+f(BC,HI)+f(CD,IJ)+f(DE,JK)+f(EF,KL)+f(FA,LG)=8$

このとき，$2$ つの正六角形の一辺の長さの差の $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

円 $\Gamma$ があり，これの接線 $l,m$ を引いたところこれらは点 $H$ で直交しました．また，$l,m$ と $\Gamma$ の接点をそれぞれ $A,B$ とし，$\Gamma$ の内部に $\angle{APB}=90^\circ$ となる点 $P$ をとり，さらに直線 $AP,BH$ の交点を $Q$ ，直線 $AH,BP$ の交点を $R$ とします．このとき，$3$ 点 $A,P,Q$ はこの順に並び，三角形 $ABQ$ の面積が $72$ ，$PR=30$ となりました．線分 $BR$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，角 $A$ の二等分線と直線 $BC$ の交点を $D$ ，線分 $BC$ の垂直二等分線と直線 $AC$ の交点を $E$ とします．このとき，三角形 $CDE$ の周長は $20$ であり，さらに

$$AD=DC，AE=6$$

が成立しました．線分 $AB$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす，$ \angle BAC$ が鈍角の三角形 $ABC$ があり，$A$ から線分 $BC$ におろした垂線の足を $D$ とする．$4$ 点 $BEDC$ がこの順に同一直線上に並ぶように点 $E$ をとると，三角形 $ACE$ の外接円は直線 $AB$ に点 $A$ で接し，点 $E$ から線分 $AB$ におろした垂線の足を $H$ とすると，
$$BH=2,\quad AH=4,\quad AC=9$$
が成立しました．このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，辺 $AB$ の中点を $M$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする．直線 $AD$ と $CM$ の交点を $P$ とし，直線 $BP$ と $AC$ の交点を $E$ とすると，以下が成立しました．$$AB=21,\quad CD=12,\quad CE=16$$
このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，直線 $BI$ と線分 $AC$ の交点を $D$ とすると，以下が成立しました．
$$AB=8,\quad AC=10,\quad AD=AI$$
このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n=1,2,\dots}$ が $a_1=-2,a_2=1$ を満たし，さらに次の条件を満たすとき，$a_{100}$ の値を求めてください．

• 任意の正整数 $k$ について，$a_k+a_{k+1}+a_{k+2}=k$ が成り立つ．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$3$ 個以上の相異なる $300$ 以下の正整数からなる集合が次の条件を満たすとき，その要素数として考えられる最大の値を解答してください．

• どの相異なる $3$ 個の要素を選んでも，それらを $3$ 辺の長さとする(非退化な)三角形は存在しない．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．