解説
条件より, 任意の素数 $p$ について $x, y, n$ が持つ $p$ の指数をそれぞれ $a, b, k$ とおくと, 以下の条件に同値変形できる.
- $\max(a, b) = k$
- $a \le 2b$
- $b \le 2a$
$k = 0$ のとき, $(a, b) = (0, 0)$ の $1$ 通りのみである.
$k \ge 1$ のとき, 対称性より $a = k$ と固定すると, 条件は $k \le 2b$ かつ $b \le k$ となる.
すなわち $\lceil k/2 \rceil \le b \le k$ を得る.
これを満たす整数 $b$ の個数は $k - \lceil k/2 \rceil + 1 = \lfloor k/2 \rfloor + 1$ 個である.
$a$ と $b$ を入れ替えた場合も同様であり, $a = b = k$ の重複を引くと, 素数 $p$ に対する組の個数 $f(p^k)$ は次のように定まる.
$$
f(p^k) = 2 (\lfloor k/2 \rfloor + 1) - 1 = 2 \lfloor k/2 \rfloor + 1
$$
各素因数について独立に選択できるため, $f(n)$ は乗法的関数となる.
$f(n) = 15$ を満たすには, 素因数分解における各素数 $p, q$ の指数について以下のいずれかを満たす必要がある.
1. 単一の素因数のみを持つ場合
$f(p^k) = 15$ より, $2 \lfloor k/2 \rfloor + 1 = 15$ となり, $\lfloor k/2 \rfloor = 7$ を得る.
これより $k \in {14, 15}$ である.
2. 2つの異なる素因数を持つ場合
$f(p^a) = 3$ かつ $f(q^b) = 5$ より, $2 \lfloor a/2 \rfloor + 1 = 3$ および $2 \lfloor b/2 \rfloor + 1 = 5$ を得る.
これらを解くと, $a \in {2, 3}$ および $b \in {4, 5}$ となる.
条件を満たす $n$ を小さい順に列挙する.
$n = p^{14}$ などの最小値は $2^{14} = 16384$ であり, 非常に大きい.
よって $n = p^b q^a$ ($b \in {4, 5}, a \in {2, 3}$) の形を調べる.
- $2^4 \cdot 3^2 = 144$
- $2^5 \cdot 3^2 = 288$
- $3^4 \cdot 2^2 = 324$
- $2^4 \cdot 5^2 = 400$
- $2^4 \cdot 3^3 = 432$
- $3^4 \cdot 2^3 = 648$
- $2^4 \cdot 7^2 = 784$
- $2^5 \cdot 5^2 = 800$
- $2^5 \cdot 3^3 = 864$
- $3^5 \cdot 2^2 = 972$
以上の列挙により, $10$ 番目に小さい整数は $972$ である.
答： $\mathbf{972}$
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