循環節(OMC不採用1)

問題文

三角形 $ABC$ の外接円の半径は $2026$ です．この三角形の垂心を $H$ とするとき $AH^2+BC^2$ を求めてください．

問題文

鋭角三角形$ABC$について、$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。$△ABC$の外接円と直線$EF$の交点の内、劣弧$AB$側の交点を$G$、劣弧$AC$側の交点を$H$とする。直線$BG$と直線$DF$の交点を$I$としたとき、$A,I,H$は共線であった。このとき、以下が成立した。
$$
∠C=60°　BC=8
$$
このとき、$AC$の長さは自然数$a.b$を用いて$a+√b$と表せられるので、$a+b$の値を求めて下さい。

解答形式

半角で解答して下さい。

問題文

内接五角形$ABCDE$があり、$∠BAC$＝$∠CAD$＝$∠DAE$である。
また、$AB=12$、$AC=17$、$AD=20$である。
このとき、$AE$の長さは互いに素な正の整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので$p+q$を解答してください。

解答形式

半角で解答してください。

問題文

$p, q, r $を互いに異なる3つの素数とする。

整数 $K = (qr)^{p-1} + (rp)^{q-1}+ (pq)^r$が、
$K ≡ p+q-1　(mod r)$
という条件を満たすとき、和 $p+q+r$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

四角形ABCDは正方形である。辺AD上に点P、BCの延長線上に点Qを取ると、三角形PBQは正三角形になる。DCとPQの交点をRとする。AP上にSを取ると三角形SBRも正三角形になる。次の問いに答えなさい。

角RBCの大きさを求めなさい

解答形式

角度の大きさは数字のみで回答してください
(例)180
　　90 など

問題文

与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030

回答の仕方

因数分解された式のみ回答

問題文

次の等式を満たすような $10000$ 以下の正整数の組 $(a,b,c)$ の個数を求めて下さい．

$$160a^2+153b^2+25c^2=24ab+96bc+72ac$$

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

$n,kをn≠kで3以上の自然数とする。$
$このとき、正n角形において、その内部をn個の正k角形で重複なく、また隙間なく敷き詰められるような(n,k)を求めよ.$

解答形式

(〇,◇)
記号も数字もすべて半角でお願いします。

正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.

• $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
• $x$ は $y^2$ の約数である
• $y$ は $x^2$ の約数である

$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.

問題文

正の実数からなる $2$ つの数列 $a_1,a_2,...$ と $b_1,b_2,...$ があり, 任意の整数 $n$ について以下を満たしている．
$$
(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)または(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right)が成立する．
$$
$(a_1,b_1)$ が $(7,11)$ であるとき, $a_{100}$ としてあり得る値の中で $2025$ 番目に小さいものを求めよ．

解答形式

答えの値を $x$ としたとき, $2^{100}x$ の値を解答してください．
参考:$2^{100}=1267650600228229401496703205376$

問題文

4x4のマス目のうち1つを、更に4x4に分割します。いくつかのマスで長方形を作るとき、何種類の長方形を作れますか。？
但し、同型でも場所が異なるなら違う種類と見なします。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB<AC$ で，線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について，半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ，半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く．また，三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち，$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする．$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり，$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき，線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。