自作かんたん整数

問題文

SKG学院では$5×5$のマス目を使い，とあるゲームが行われている．
ゲームのルールは以下の通り．
・お客さんと生徒がじゃんけんをする．勝った方が先手，負けた方が後手となる．
この時あいこは考えないものとする．
・先手は黒の碁石，後手は白の碁石をマスの上に交互に置いていく．
・同じマスには碁石は一つまでしか置けない．
・マス目が全て埋まった時,各行について次の条件を満たすものを特別な行と呼び，その個数を数える．
特別な辺：ある行の$5$マスを見た時お客さんが置いた碁石の個数が偶数個であるもの．
・特別な行の個数が偶数であればお客さんの勝ち，奇数であれば生徒の勝ちとなる．

お客さんが勝つ確率を$A$，お客さんが勝つ時の碁石の置き方の総数を$B$とする．
$A×B$の値を求めなさい.
但し回転して重なるような碁石の置き方は区別しないとする．

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

問1
l,m,n を自然数とする。
(1) lmn = 1119744 を満たす(l, m, n) の組み合わせの総数を求めよ。
(2) (1) のうち、l が 32 の倍数である(l, m, n) の組み合わせの総数を求めよ。

解答形式

(1)の解答と(2)の解答を連続して入力してください。例えば(1)の答えが500、(2)の答えが76の場合は50076と答えてください。

問題文

半径$66$の円に内接する正$66$角形の対角線(各辺も含む)の長さの$66$乗和を求めて下さい．
但しある長さの$𝑛$乗和とは，与えられた長さ$P_1,P_2…$について${P_1}^n + {P_2}^n …$を指します．

解答形式

答えを$2025$で割った余りを半角数字で入力してください．
4/26 19:55 誤った答えが入力されていました．大変申し訳ありません．

交わらない$2$円$O_1,O_2$は直線$m$に同じ側で接しており、その反対側に交わらない$2$円$O_3,O_4$が直線$m$に接している。円$O_x(x=1,2,3,4)$の半径を$x$、直線$m$との接点を$P_x$とすると、点$P_1,P_4,P_2,P_3$がこの順に並んだ。$P_1P_4=P_2P_3=5,P_2P_4=3$のとき、四角形$O_1O_2O_3O_4$の面積を求めよ。

問題文

実数から実数への関数$f$であって任意の実数$x,y$について$$f(x)+f(f(y)+x)=f(f(x))+4y$$
が成り立つようなものを全て求めよ。

解答形式

簡単でいいので証明もお願いします。

問題文

4x4のマス目のうち1つを、更に4x4に分割します。いくつかのマスで長方形を作るとき、何種類の長方形を作れますか。？
但し、同型でも場所が異なるなら違う種類と見なします。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$10000$ 以下の正整数の組 $(x,y,z)$であって次を満たすようなものについて， $xyz$ の総和を素数 $2113$ で割った商を求めて下さい．

$$ 2113\sqrt{x^2+y^2+z^2}=25x+60y+2112z$$

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。

$x \equiv p \pmod{9797}$
$x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$

この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。その斜辺を$a$、直角を挟む2辺を$b, c$とする。

これらの辺の長さが、以下の関係式を満たしているという。
$$7a = 5(b+c)$$
この条件を満たす全ての直角三角形のうち、斜辺 $a$ が$10$の倍数であり、かつ $a < 200$ であるもの全てを考える。

それらの三角形の、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題文

正整数に対して定義され非負整数値をとる関数 $f$ が以下を満たしています．

• 任意の正整数 $x,y$ について $f(xy)=f(x) \oplus f(y)$

• $x$ と $y$ が互いに素ならば $f(xy)=f(x)+f(y)$

このような関数 $f$ について，以下を満たす正整数の組 $(x,y)$ の個数を $c(f)$ とします．$c(f)$ がとりうる値は有限個なので，その総和を解答してください．

• $x,y$ はともに $30^{10}$ の約数である．

• $f(xy)=f(x)+f(y)$

追記: $\oplus$ はビットごとの排他的論理和です

問題文

接点・共通領域を持たない円$A,B$があり，これらの中心を通る直線$l$との交点を$P,Q,R,S$とします．($P≠Q≠R≠S$)

但し$P,Q$が$A$の円周上，$R,S$が$B$の円周上にあり，$P,Q,R,S$の順に並ぶとします．

また$PS,QR$の長さをそれぞれ$a,b$と置きます．

この時$A,B$の共通内接線の長さが$2025$となるような$(a,b)$の組として考えられるものは何通りありますか．

解答形式

半角数字で解答して下さい．

問題文

$xy$ 平面上に $3$ つの円
$C_1:x^2+y^2=1$
$C_2:(x-10)^2+(y-100)^2=25$
$C_3:(x-10000)^2+y^2=2025$
がある．
$C_1$ と $C_2$ の共通外接線の交点を $A$，$C_1$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $B$，$C_2$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $C$ とする．
$AB+BC-CA$ の値を求めよ．

解答形式

整数で回答してください．