解説
例えば上図のような問題で、正方形の一辺を$a,b$、赤、青の線分の長さを$x,y$とすると、$x^2+y^2=2(a^2+b^2)$である（余弦定理から容易に証明可能。なお、中学数学範囲内でも証明可能）。
これと同様にして、問題の3つの正方形の一辺を$a,b,c$とすれば、$c^2+10^2=2(a^2+b^2)$ などから、$a^2+b^2+c^2=(10^2+5^2+11^2)/3=82$ となるので正方形部分の面積は$82$である。
残りの4つの三角形は面積が等しく、さらに外側3つの三角形をくっつけると$3$辺の長さが$5,10,11$である三角形ができる（これを利用した問題に求面積問題7がある）。この面積はヘロンの公式（or垂線下ろして三平方など）から$\sqrt{13\cdot 8\cdot 3\cdot 2}=4\sqrt{39}$である。
以上のことから六角形の面積$S$は、
$$
S=82+\frac{16\sqrt{39}}{3}
$$
であり、解答は8216393
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