6つの正方形

tb_lb 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 中学数学
2021年2月21日22:42 正解数: 2 / 解答数: 2 ギブアップ不可
初等幾何 長さ

${}$ 今日の図形問題は正方形をたっぷりと並べてみました。座標幾何や複素数平面に落とし込みたい誘惑を断ち切って補助線解法を堪能していただけたら本望です。うまく引ければ余裕で暗算可能ですよ!

解答形式

${}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
 入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。


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${}$ 先日から補助線を主体とした図形問題を投稿しています。先々週・先週と求積・求角とお送りしてきたので、今回は求長問題にしてみました。
 暗算で処理可能な解法もあります。補助線の世界をお楽しみください。

解答形式

${}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
 入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

求値問題7

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
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問題文

次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。
$$
2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220
$$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。

解答形式

半角数字で解答してください。

求長問題14

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
12日前

1

問題文

半径21の扇形に図のように線を引きました。青い三角形の面積が213のとき、赤い線分の長さを求めてください。

※高校数学カテゴリに入れてますが、中学数学範囲での綺麗な解法をTwitterにて頂きました。是非考えてみてください。

解答形式

解答は既約分数$\frac{\fbox{アイウ}}{\fbox{エ}}$となります。文字列「アイウエ」を解答してください。
ただし、$\fbox ア ~ \fbox エ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。

18日前

3

${}$ 先日より補助線主体の初等幾何の問題を投稿しています。
 今日は補助線問題の花形である求角問題を用意しました。とはいえ、補助線問題としてまだまだ大人しめです。手慣れている方は頭の中だけでの処理に挑戦してみてください。

解答形式

${}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
(例) $12^{\circ}$ → $\color{blue}{12.00}$  $\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
 入力を一意に定めるための処置です。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

長方形と三角形

tb_lb 自動ジャッジ 難易度:
25日前

7

${}$ 2013年よりツイッターなどで補助線主体の初等幾何の問題を披露してきたtb_lbと申します。このたびこの「ポロロッカ」を知り、今まで作ってきた問題を再発表することを決めました。気まぐれに投稿してまいりますので、見かけた際にはどうぞよろしくお願いします。
 さて、ご挨拶代わりの1問目は易しめに抑えてみました。答えを出すだけなら代数的な処理で十分ですが、いささか面倒です。適切な補助線を引くと面倒な計算を避けることができますので、ぜひ補助線解法を考えてみてください。

解答形式

${}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\ \mathrm{cm}^2$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$ → $\color{blue}{14.14}$
 入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

鏡の中のf(x)

masorata 自動ジャッジ 難易度:
8月前

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問題文

関数 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して

$$
f(x)=2f(-x)+\frac{3x}{x^2+1}
$$

をみたす。このとき、$f(x)$ の最大値を求めよ。

解答形式

求める最大値は $\frac{p}{q}$ ($p,q$は自然数) と書ける。$p,q$ の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。なお、できるだけ約分した形で答えよ。

Sandwich+

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問題文

https://pororocca.com/problem/19/
こちらの問題の設定で,「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.

解答形式

半角数字で入力してください.

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問題文

$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。

$$
a^2-4b-1=0\\
b^2-8c+28=0\\
c^2-6a+2=0\\
$$

解答形式

a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。

円周率 3

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問題文

$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分

$$
\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx
$$

を計算せよ。

解答形式

piまたは 355/113 で解答してください。

常に無理数か?

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問題

(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

解答方法

解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。

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問題

(1) 定積分

$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$

の値を求めよ。

(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を

$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$

で定める。定積分

$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$

の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

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問題文

「ボ」と「ー」からなる文字列のうち,以下の条件を満たすものをボー文字列と呼ぶことにします.


条件:長音記号「ー」が文字列の先頭にくることはなく,連続して現れない.


例えば,「ボボー」や「ボーボボ」はボー文字列ですが,「ーボー」や「ボボーー」はボー文字列ではありません.

ボー文字列に対して,次の操作を行うことを考えます.


操作:ボー文字列に対して,次のうちいずれか一方を行う.

  • (A)文字列のどこか1ヶ所に長音記号「ー」を付け加える.
  • (B)文字列の末尾に「ボ」を付け加える.

ただし,得られた文字列はボー文字列でなければならない.


1文字「ボ」から始めて,ボー文字列に対してくり返し操作を行い $n$ 文字からなるボー文字列が得られたとします.異なる操作の仕方の総数を $a_n$ とするとき,$a_{10}$ を求めなさい.

解答形式

半角数字で入力してください。