求面積問題20

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 中学数学
2021年5月9日10:15 正解数: 8 / 解答数: 10 (正答率: 80%) ギブアップ数: 0

解説


※$Arctan\ 1/2=\alpha,Arctan\ 1/3=\beta$を満たす$\alpha,\beta$に対し、$\alpha +\beta =45°$が成り立つことや図形の相似を利用。
$\alpha +\beta =45°$の証明は算数範囲で可能。


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ただし、図中の青点はそれぞれの正方形の対角線の交点です。

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半角数字で解答してください。

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解答形式

面積は、
$$
\fbox{アイ}+\frac{\fbox{ウエ}\sqrt{\fbox{オカ}}}{\fbox{キ}}
$$
となります。$\fbox ア~\fbox キ$には0以上9以下の整数が入ります。文字列「アイウエオカキ」を解答してください(「」は不要)。ただし、根号の中身や分数は最も簡単な形にしてください。

例$$
面積S=17+\frac{22\sqrt{52}}{8}\rightarrow 17+\frac{11\sqrt{13}}{2}\rightarrow 1711132 と解答
$$

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図中、同じ印のついている辺・角同士は等しいです。
緑の凹四角形の面積が10のとき、青の三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

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$△ABC$は鋭角三角形とします。次に、$A,B,C$から$BC,CA,AB$におろした垂線の足をそれぞれ$X,Y,Z$とし、$△ABC,△XYZ$の内接円の半径をそれぞれ$r,r'$とします。このとき、次の式の最小値を求めてください。
$$
\frac{r}{r'}\cos{\frac A2}\cos{\frac B2}\cos{\frac C2}
$$

解答形式

$$
\frac{r}{r'}\cos{\frac A2}\cos{\frac B2}\cos{\frac C2}\geq\frac{[ア]\sqrt{[イ]}}{[ウ]}=(最小値)
$$
となります。$[ア]+[イ]+[ウ]$を半角数字で解答してください。
ただし、$[ア],[イ],[ウ]$には自然数が入ります。また、分数部分は既約分数に、根号内の数字は最小となるようにしてください。

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 今回は図形問題の王道から円がらみの求角問題を用意しました。手慣れている方なら脳内で処理できるくらいの計算量です。どうぞ円と角度の世界を堪能してください。

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${
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
\def\myang#1{\angle \mathrm{#1}}
\def\myarc#1#2{\stackrel{\style{transform:matrix(#1,0,0,1.5,0,2)}{\frown}}{\mathrm{#2}}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
(例) $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$  $\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

  1. 全体方針をぼんやりと
  2. ある定理の紹介
  3. ヒント1・2の内容をやや具体的に

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半角数字で解答してください。

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B:以下のように4つの部屋に分割したときにどの部屋をとっても赤、青、黄、緑が1回ずつ出現する。
□□|□□
□□|□□
__|__
□□|□□
□□|□□

AとBを両方満たす塗り方は何通りありますか?
(例:30通りだったら、30と答えなさい)

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半角数字で解答してください。

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解答形式

半角数字で解答してください。

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半角数字で解答してください。