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問題文
$r$ を正の整数とする。$xyz$ 空間において，原点を中心とする半径 $\sqrt{r}$ の球面を $S_r$ で表すとき，次の問いに答えなさい。
- $S_r$ が格子点を含まないような最小の $r$ を求めなさい。
- $S_r$ が格子点を含まず，$r$ が $8$ の倍数であるような最小の $r$ を求めなさい。
※点 $(x,y,z)$ が格子点であるとは，$x,y,z$ がすべて整数であることをいう。
解答形式
改行区切りで，1行目に 1. の答えを，2行目に 2. の答えを入力してください。
問題文
以下のような数列 $\{a_n\}$ を考える。
$$
a_n=1+\sum_{m=1}^{2^n}{\rm floor}\left[\sqrt[n]{\frac{n}{\displaystyle{\sum_{k=1}^m}\; {\rm floor}\left(\cos^2\cfrac{(k-1)!+1}{k}\pi\right)}}\right]
$$なお、${\rm floor}(x)$ は $x$ 以下の最大の整数を返す関数とする。このとき、$a_{20}$ を求めよ。
ただし、必要であれば以下の定理および不等式を用いても良い。
- $n$ が素数のとき
$$\quad(n-1)!\equiv-1 \pmod n$$ - $n\geq 1$ のとき
$$1\leq\sqrt[n]{n}<2$$
解答形式
半角数字で入力してください.
問題文
図中、同じ印のついている辺・角同士は等しいです。
緑の凹四角形の面積が10のとき、青の三角形の面積を求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
正六角形2つが図のように配置されています。赤い線分と青い線分の長さの比が1:4であるとき、緑で示した角Yの角度を求めてください。
ただし、図中"center"で示した点は正六角形の外心です。
解答形式
0~360までの半角数字で、「°」や「度」をつけずに解答してください。
問題文
2つの正六角形が図のように配置されています。
赤い線分の長さが10のとき、青い線分の長さを求めてください。
ただし、図中"center"で示した点は各正六角形の外心です。
解答形式
半角数字で解答してください。
