全問題一覧

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H

kusu394 自動ジャッジ 難易度:
5月前

9

問題文

点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円と,その円に内接する正 $169$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{169}$ が与えられています.この正 $169$ 角形の頂点のうち,$A_{169}$ を除いた $168$ 頂点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{168}\mathrm{C}_3$ 通り考えられますが,それらすべてについて選んだ $3$ 点を頂点とする三角形の垂心と $O$ の距離の $2$ 乗の総和を解答してください.(総和の $2$ 乗ではないことに注意してください.)

E

kusu394 自動ジャッジ 難易度:
5月前

24

問題文

holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました.
分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び,下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか.

  • 『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』は隣り合ってはならない.(こよクロ(『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』のユニット)は解散しているため)
  • 『ラプラス・ダークネス』の左右のどちらか隣に『鷹嶺ルイ』がいないといけない(『ラプラス・ダークネス』は『鷹嶺ルイ』が近くにいないと不安になってしまうため.しかし,『鷹嶺ルイ』の隣に『ラプラス・ダークネス』がいなくても良い.)

解答形式

半角整数で入力してください.

C

kusu394 自動ジャッジ 難易度:
5月前

31

問題文

$n$ を $3$ 以上の正整数とします.正 $n$ 角形から $3$ 頂点選んでそれらを $A,B,C$ としたとき,$\angle ABC =44.5^\circ$ となりました.$n$ として考えられる最小の値を解答してください.

解答形式

半角整数で入力してください.

B

kusu394 自動ジャッジ 難易度:
5月前

31

問題文

$7216$ のように,

  • $11$ の倍数である.
  • 上 $1$ 桁を無視してできる数は立方数である.(すなわち,ある整数 $m$ を用いて $m^3$ と表せる)

の $2$ 条件を満たす $4$ 桁の正整数を 祭数 といいます.最大の祭数を解答してください.ただし,上 $2$ 桁目等が $0$ である場合の上 $1$ 桁を無視してできる数とは上 $1$ 桁の数とそれに続く $0$ を無視した数とします.例えば $1011$ の上 $1$ 桁を無視してできる数は $11$ です.

解答形式

半角整数で入力してください.

整数問題α

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
5月前

14

問題文

以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。
$$
x^{y}=y^{x-y}
$$

解答形式

半角数字で解答して下さい。

OMC不採用問題1

Tehom 自動ジャッジ 難易度:
5月前

3

問題文

$\displaystyle\frac{728^{3^m}+730^{3^n}}{3^{m+n}}$ が整数となるような正整数 $(m,n)$ の組すべてについて, $mn$ の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

割り算

Tarotaro 採点者ジャッジ 難易度:
5月前

0

$$nは自然数である$$$$相異なる非負整数x_1,x_2,…,x_nについて$$$$任意のx_i,x_j(1\leq i\leq n,1\leq j \leq n)$$$$に対してとある奇素数pで割った余りが$$$$どれも等しく-2である(x_j,x_i\leq np)$$$$この時以下の式がpで何回割れるか答えよ$$

$$Π_{k=1}^{p}\quad(\sum_{1\leq i <j\leq
n}\quad2(x_ix_j)^k-4n^2 +4^kn) $$

$$ただしΠは相乗を表しΣは総和を表す$$

$$*\sum_{1\leq i <j\leq n}x_ix_jは1\leq i<j\leq nを満たす$$$$すべての整数の組(i,j)についての$$$$x_ix_jの和を表す$$


問題文

各辺が$\;1\;$の正八面体$\;O$-$ABCD$-$E\;$において、$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\;\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\;\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c},\;\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}$とする。
また、辺$\;OB\;$の中点を$\;M\;$、正八面体の各頂点を通る球 (外接球) の中心を$\;L\;$とする。

$(1)\;\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ
$(2)\;$球上の点と点$\;M\;$の最短距離を求めよ
$(3)\;(2)$において最短となる球上の点を$\;N\;$とすると、$\overrightarrow{LN}\;$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ

$$$$

解答形式

㋐~㋗に当てはまる半角数字を行ごとに入力してください。
㋘~㋚には$\;1\;$か$\;-1\;$を入力してください

$(1)\;\overrightarrow{d}=㋐\;\overrightarrow{a}+㋑\;\overrightarrow{b}+㋒\;\overrightarrow{c}$
$(2)\displaystyle\frac{\sqrt{㋓}-㋔}{㋕}$
$(3)\;\overrightarrow{LN}=\displaystyle\frac{\sqrt{㋖}}{㋗}(\;㋘\;\overrightarrow{a}+㋙\;\overrightarrow{b}+㋚\;\overrightarrow{c}\;)$


問題

+1, -1, ×1, ÷1がそれぞれ書かれた4種類のカードがそれぞれ十分な枚数あります。
今、$a_{0}=1$として、毎回1枚のカードを引き、$a_{n+1}$を$a_{n}$に対してそのカードに書かれた操作をすることによって定めます。ただし、nは非負整数です。
例えば、+1、+1、×1の順でカードを引いた時、$a_{0}=1$、$a_{1}=2$、$a_{2}=3$、$a_{3}=3$となります
10回の操作後、$a_{10}=1$となるようなカードの引き方の総数を求めてください。

解答形式

非負整数のみで回答してください

PGC005 (A)

pomodor_ap 自動ジャッジ 難易度:
5月前

47

問題文

$BC=18$ かつ面積が $162$ なる三角形 $ABC$ について,重心を $G$,$G$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $P$ とすると,三角形 $PGC$ の面積が $30$ となりました.$AC$ の長さの二乗を求めてください.

PGC005 (B)

pomodor_ap 自動ジャッジ 難易度:
5月前

35

問題文

$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について,内心を $I$,$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると,四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました.$AB$ の長さを求めてください.

PGC005 (F)

pomodor_ap 自動ジャッジ 難易度:
5月前

7

問題文

$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ について,線分 $AB$ 上に点 $D$ をとり,点 $A$ から円 $DBC$ に引いた接線と円 $DBC$ の接点のうち,直線 $DC$ について点 $B$ 側にあるものを $T$ とします.円 $ATC$ と線分 $AB, BC$ の交点をそれぞれ $E(\neq A), P(\neq C)$ とし,直線 $DT$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とすると,直線 $AB$ は $\angle PAQ$ を二等分しました.$AD=7, DC=13$ のとき,線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を求めてください.