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問題文

3以上の正整数 $n$に対し, $$ {}_nC_1, {}_nC_2, \dots, {}_nC_{n-1} $$の $n-1$個の数から $n-2$個を選んだときのそれらの最大公約数を $d$ とする.
全ての選び方について $d$ の総和を $d(n)$とする.100以下の$n$であって, $d(n)\le100$となる $n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって，
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる（球が1つも入っていない箱があってもよい）．
$i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする．
入れ方すべてについて，積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し，その和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

1辺が10の正三角形ABCがある.
線分AB上に $AD=3$を満たす点D, 線分BC上に $BE=3$を満たす点Eがある.
線分DEの垂直二等分線と直線ACの交点を $F$とし, 三角形ABCの外接円と交わる点のうち, 直線ABに関して $C$ と反対側にある点を $K$ とする.
直線EFと直線CKの交点を $L$とするとき, $EL$の長さを求めよ. なお, 答えは $\sqrt{a}-b$で表されるため, $a+b$を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

格子点上を，点 $P$ は $(0,2)$ から $(6,8)$ へ，点 $Q$ は $(2,0)$ から $(8,6)$ へ最短経路で進む．
このとき，2 本の経路が交差しない（頂点共有もしない）組の総数を求めよ．

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ．
・すべての正整数 $n$ に対し，$a_n$ は $0$ 以上の整数である．
・すべての正整数 $n$ に対し，$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす．
・すべての正整数 $n$ に対し，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

数列 ${a_n}$ は $a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{8-a_n^2}\ (n=1,2,\dots)$ を満たす．
$a_{2025}=-4$ となるような $4$ 以上の実数 $a_1$ の個数を $M$ とするとき，$M$ を素数 $2017$ で割った余りを求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$a,b,c$を正の実数とし、$k$を実数とします。$x$の方程式$x^3-ax^2+bx-c=0$が$3$つの実数解$α,β,γ$を持ち、次が成り立ちます。
・$|α+β|=a+2$
・$|αβ|=b-k$

$γ$を$k$を用いて表してください。

解答形式

解答はある正の整数$p,q,r$を用いて
$γ=-p+\sqrt{q-rk}$
と表せますから、$p+q+r$の値を解答してください。

珍しく良問

線対称かつ点対称な図形Xのうち、
対称軸上に対称点がないようなものは
存在しないことを示してください。

解答形式

日本語で答えてください。大意が伝われば良いです(最低限伝わるようお願いします)。

問題

実数$x，y$が
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
2x^3+2y^3=1
\end{cases}
$$
を満たしているとき，$x+y$ のとりうる値をすべて求めよ．

解答形式

解答に$sinθ，cosθ$を含む場合は，$cosθ(0<θ<π)$に統一し，記入例にしたがって全て$半角$で解答してください．なお，度数法で解答すると不正解となるので，弧度法を用いてください．
小数などを用いた近似値での解答は不正解となります．
複数の解答がある場合は小さい値から順に上から改行してください．

記入例
3cos(5π/6)
3cos(π/3)

問題文

三角形$ABC$において，$AB,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とし，重心を$G$とします.三角形$AGM$の外接円と三角形$CGN$の外接円が再び交わる点を$P$とすると以下が成立しました.$$GP//BC　AB＝5　AC＝4$$このとき線分$GP$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題

鋭角三角形$ABC$について, 外心を$O$, 垂心を$H$とする. $B$から$AC$に下した垂線の足を$D$とすると,
$$
AD=3　OH=OD　BH:HC=7:18
$$
が成立した. このとき, 線分$BD$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので, $a+b$を解答せよ.