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問題文

ウサギとカメが、$1000$ $\mathrm{m}$ の距離を競走した。カメは $5$ $\mathrm{m/}$分 の速度で出発し、休むことなく歩き続けた。しかし、進むにつれその速度は $1$ $\mathrm{m}$ 当たり $0.001$ $\mathrm{m/}$分 の割合で連続的に遅くなった。一方、ウサギは $200$ $\mathrm{m/}$分 の速度で走り続けたが、途中で一休みした。 競走の結果、カメはウサギよりも $1$ 分早くゴールした。このとき、ウサギは何分休んでいたか。

解答形式

$\ln{2}=0.693, \ln{5}=1.609$ とし、整数(半角数字)で解答せよ。

問題文

自然数列$\ a_n$を以下のようにして定める.
$$a_{n+1}=\lceil \sqrt{n} \rceil a_n+\lfloor \sqrt{n} \rfloor$$
ただし,$\ \lceil x \rceil \in \mathbb{N},\ x \le \lceil x \rceil <x+1\ ,\ \lfloor x \rfloor \in \mathbb{N},\ x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$
です.
このとき,$\ a_{2026}\ $が$\ 5$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

解答形式

整数で解答してください.

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} {\alpha_k}^{100}$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題の改題です．

問題文

以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$

このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題と同じです．

問題文

$x^6+3x^4+2x^2-1$ を整数係数範囲で因数分解してください.

解答形式

与式は複数個の多項式に因数分解できるので,できるだけ因数分解し,
多項式毎に $x$ の指数 $+1$ と係数の積の和を求め,それらを掛けたものを入力してください.
例.)
$(x^2+x+3)(2x^3+5x+1)$ と因数分解できたとき,
答える値は $(3\cdot1+2\cdot1+1\cdot3)(4\cdot2+2\cdot5+1\cdot1)=152$ です.

問題文

円 $\Gamma$ に内接する不等辺三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ とし，線分 $BC$ の中点を $M$ とします．線分 $AB,AC$ に接し $\Gamma$ に点 $T$ で内接する円が一意に存在するのでこの中心を $S$ とし，直線 $AI$ が $\Gamma$ と再び交わる点を $V$ とします．また，三角形 $STV$ の外心を $P$ とすると，線分 $IP$ 上の点 $H$ が以下を満たしました．
$$ \angle TAV = \angle HMI, \quad \angle THP = \angle TSV $$さらに， $SV = \sqrt{39}, \ MV = \dfrac{198}{53}$ が成り立つとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正の整数 $a,c$ および平方因子を持たない正の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a \sqrt{b}}{c} $ と表せるので， $a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．

24×24の方眼紙に色を塗る。使う色は、ビリジアン、エメラルド、ライムである。
色を塗った後、方眼紙の上下をねじらずに丸めて繋げると筒状になり、さらに筒の端同士をねじらずに丸めて繋げるとトーラスになる。このとき、どのマス目に対しても次の条件を満たした。

・自身のマスに隣り合う4マスのうち、斜めに繋がっていない2マスを選ぶと、必ずどちらかが自身と同じ色で、どちらかが自身と異なる色である
・任意の2×2の正方形内の色に関して、同じ色で隣り合っている2マスが存在しなければ、正方形内に3種類の色が存在する

あり得る塗り方は何通りあるか。但し、方眼紙を回転させて一致するものは異なるものとして数える。

3つの空箱がある。次のルールで2人で交互に石を箱に入れる。
・どちらかの行動を行う
　・1つの箱に1つ石を入れる。
　・既に石が入っている1つの箱に、今入っている個数の石をその箱に入れる
(つまり、石の個数が倍になる)
・ただし、既に箱にN個以上入っている場合はこれ以上石を入れられない

全ての山の石の個数をそれぞれN以上にした方が勝ちである。後手必勝となる2025以下のNの総和を求めよ。

Sを0以上10以下の自然数の集合として、
P君は、xy座標平面$S^2$の盤面上で、スタートからゴールへ移動する。xが増加する方向が右で、yが増加する方向が上である。6種類の点が存在する。
スタート…(0,0)で、P君が可能な動きはバイオレットと同じである。
ゴール…(10,10)
ネイビー…スタート、ゴール以外の点について、xがyの倍数なら(x,y)はネイビーであり、xがyの倍数でないなら(x,y)はネイビーでない。P君はネイビーに移動できない。
バーミリオン…P君がこの点にいるとき、P君は1つ上へ移動するか、2つ右、1つ下に飛んで移動することができる。
バイオレット…P君がこの点にいるとき、P君は1つ右へ移動するか、2つ上、1つ左に飛んで移動することができる。
アイボリー…P君はアイボリーに移動できない。アイボリーは全部で5個存在する。

ただし、P君が移動して座標平面$S^2$から飛び出てはいけない。
全ての$S^2$に含まれる点のうち、スタート、ゴール、ネイビー以外の点に自由にバーミリオン、バイオレット、アイボリーのいずれかを塗ることができ、その盤面AについてP君がスタートからゴールに行く方法の総数をF(A)とする。
F(A)の最大値をXとし、
全ての盤面Aについて、F(A)の総和をYとし
Yを10007で割った余りをZとして、XとZの10進法における文字列の結合を求めよ。

$S=$$\{$$\sqrt{1},\sqrt{2},\dots,\sqrt{n} $$\}$の部分集合であって、次を満たすものの個数をmとする。
・要素が3つ
・どの2つを選んでも、2つの比の値が有理数となる

n=mとなるnを全て求め、その総和を求めなさい。

次の条件を満たす2025以下のnはいくつ存在しますか

条件
$f(n)=4d(n)$として、
($d(n)$はnの正の約数の個数)
$f^5(n)+f^{1278}(n)=56$が成立する。
(fの肩は関数の合成回数を表す)