数学の問題一覧
問題文
表面積が$\displaystyle n \sin \frac{2\pi}{n}$である正$n$角錐の体積の最大値を$V_n$とする。極限値
$$\begin{eqnarray}
A &=& \lim_{n \to \infty} V_n \\
B &=& \lim_{n \to \infty} n^2 (V_n -A )
\end{eqnarray}$$を求めよ。
解答形式
$A,B$は
$$
A = \fboxア \frac{\pi^\fboxイ}{\fboxウ} , \qquad B = \fboxエ \frac{\fboxオ \pi^\fboxカ}{\fboxキ}
$$となるので文字列「$\fboxア\fboxイ\fboxウ\fboxエ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$」をすべて半角で1行目に答えてください。ただし$\fboxア\fboxエ$は$\texttt{+-}$のどちらか、$\fboxイ\fboxウ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$は自然数であり、$\fboxオ$と$\fboxキ$は互いに素です。例えば$\displaystyle A=+\frac{\pi^{2}}{3},B=-\frac{5\pi^{7}}{11}$としたいときは+23-5711と回答してください。計算して-5688とはしないでください。
問題文
$0$ 以上 $1$ 以下の実数の組 $(x_0 , x_1 ,\ldots, x_{100})$ と正の実数の組 $(y_0 , y_1 ,\ldots ,y_{100})$ が以下の条件を満たしました．
$$
x_ny_n=n(0\leq n\leq 100),\quad y_0=2,\quad y_{100}=260
$$
この時，以下の値の最小値を求めてください．
$$
\sum_{k=0}^{99} \left(\sqrt{y_k^2+y_{k+1}^2-2y_ky_{k+1}\Bigl( x_kx_{k+1}+\sqrt{(1-x_k^2)(1-x_{k+1}^2)}\Bigr)}\right)
$$
解答形式
求める値は $\sqrt{m}$ と表せるので， $m$ の値を半角数字で解答してください．
問題文
100をe進数で表記すると何桁になるか。(整数部分のみ)
解答形式
半角数字+「桁」という文字(例:1桁)
問題文
$x,y,z$は整数とする。また、$p$は素数とする。
$x^{4}+y^{4}+z^{4}-2x^{2}y^{2}-2y^{2}z^{2}-2z^{2}x^{2}-8x^{2}yz-8xy^{2}z-8xyz^{2}=p$となるとき、$p$の最小値を求めよ。また、$p$が最小値をとるとき、$x,y,z$の組を全て求めよ。
解答形式
$p$の最小値を$p$=~の形式で1行目に、$x,y,z$の組を$(x,y,z)$=~ の形式で2行目以降にすべて書いてください。ジャッジは自分でするのであまり気にしないで自由に回答してください。
問題文
三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ 上に点 $X$ をとります．$B,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_1$ とし，$C,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_2$ とします．$\Omega_1$ と $\Omega_2$ は二点で交わっており，$X$ でない方の交点を $Y$ とします．直線 $XY$ は点 $A$ を通り，線分 $XC$ の垂直二等分線も点 $A$ を通りました．
$$BX = 4，CX=1$$を満たす時，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，求める値は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるので，$a+b$ を解答してください．
解答形式
非負整数を半角で入力してください．