数学の問題一覧
鋭角三角形 $ABC$ において、各辺の長さは $AB = 15, BC = 14, CA = 13$ である。
点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし、線分 $AD$ を直径とする円をかく。
直線 $AB, AC$ と円の $A$ と異なる交点をそれぞれ $E, F$ とし、直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とする。
点 $P$ から円に引いた 2 本の接線の接点を $T_1, T_2$ とするとき、線分 $T_1T_2$ の長さを求めよ。
解答形式
答えは$$\frac{a}{b}$$と表せるので${a+b}$を答えよ。
円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = BC$ を満たしている。
対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とすると、$BE = 4, ED = 5$ であった。
四角形 $ABCD$ の周の長さが $26$ であるとき、線分 $AD$ と $CD$ の長さのうち、大きい方の値を求めよ。
三角形 $ABC$ において、頂点 $A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とすると、点 $D$ は線分 $BC$ 上にあった。
直角三角形 $ABD$ の内接円の半径を $r_1$、直角三角形 $ACD$ の内接円の半径を $r_2$、三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$ とする。
$r_1 = 4, r_2 = 6, r = 7$ であるとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。
問題文
ある国で流通している通貨はUです。
Uと日本円の価値は一日ごとに変動します。（一日の間では変化しません）
A君はお小遣いを増やそうとして次の方法を考えました。
方法
・１Ail＞150円ならば持っているUの半分を円に両替する。
・1Ail＜150円ならば持っている円の半分をUに両替する。
・1Ail＝150円ならばその一日は何もしない（両替しない）
Aくんの最初に持っていたお金が12000円でUは持っていなかったとき次の問いに答えなさい。
(1)取引を始めて1日目に方法に照らし合わせてトレードを行ったところ50U手に入りました。この日の1Uは何円ですか？
(2)3日間取引をしたところ最初の2日間は価値の変動がなく、最後の一日の1Uの価値は160円でした。このとき持っているUを全て円に変えたところお金が17400円になったとき最初の2日間での1Uは何円か答えなさい。
(3)30日間トレードをしたところ1Uの価値が150円だった日が４日あり、今持っている総資産に占めるUと円の資本価値の比は一日目のレートで換算すると15:1であった。1Uの価値が150円未満だった日は何日あるか答えよ。ただし1日目のトレードは1U＞150円であったとします。
解答形式
半角カッコの間に半角数字を上から入れて回答してください。また=は半角にしてください。
例 (1)1U=半角数字円
(2)1U=半角数字円
(3)半角数字日
問題文
半径6の円Oがあり、図のように弦ABをひく。
点P₁はAから出発し、弧ABの長い方を通ってBまで動く。BについたらすぐにAへ戻り、これを繰り返すものとする。
点P₂はBから出発し、弧ABの短い方を通ってAまで動く。AについたらすぐにBへ戻り、これを繰り返すものとする。
ここで、点P₁の速さは毎秒1/3π、点P₂の速さは毎秒πとする。
さらに、弧AP₁=3/2πのときに、∠BAP₁=90°が成り立つ。
点P₁と点P₂が動き始めてから300秒後以内に、四角形AP₁BP₂の面積が最大となるタイミングは何回あるか。
解答形式
例）単位は不要です、半角数字のみで答えてください。
問題文
図のように、点Oを中心とする円の周上に、5点A,B,C,D,Eがあります。
BE=8,BC=EC=4√5であり、ADとBEの交点をPとすると、AP=2√2,PD=4√2、
ADとECの交点をQとしたとき、QD/PQ=√10/2-1が成り立ちました。
このとき、三角形PQEの面積を求めなさい。ただし、図は正確とは限りません。
解答形式
半角数字を用いてください。答えが分数になる場合は、「分子/分母」で表してください。
問題文
あなたは友達と二人でじゃんけんをしています。こういう問題って普通は何回かやった時にあなたが勝つ確率を求めたりするのが主流ですが、決着がつくまでじゃんけんを続けることもありますよね。
...というわけで決着がつくまで二人でじゃんけんをしたとき、あなたが勝つ確率を求めてください。
解答形式
分数の形なので、「A/B」と打ってください。スペースは要りません。
問題文
四角形$ABCD$があります.ここで三角形$ABC$は直角二等辺三角形であり,また$\angle ADC=90^\circ$です.
直線$AC$と直線$BD$の交点を$P$とするとき,$PC=4$,$AC=12$でした.
このとき,線分$CD$の長さを求めてください.
解答形式
線分$CD$の長さは互いに素な正の整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{\sqrt{b}}$と表せるので,
$a+b$の値を半角数字で解答してください.
問題文
$$x^2+2027x+a$$$$x^2+2026x+b$$
この２つの二次方程式に共通の解が１つある時、最小の自然数a、b、それぞれの値を求めない。
解答形式
1行目にaの値を、2行目にbの値を入力してください。いずれもa=、b=は必要ありません。