数学の問題一覧

$$\int^1_0\int^{\sqrt{1-z^2}}_0\sqrt{1-z^2-y^2}dydz$$

数列${a_n}$を以下のように定義する。
$$
\begin{eqnarray}
a_1&=&\int_0^1dx\\
a_{n+1}&=&\int_0^{a_n+1}x^{a_n}dx
\end{eqnarray}
$$
このとき、$\log_{10}(a_5)$の値を求めよ。

$a$は$x$と独立であるとする。
$x$の方程式
$$(\cos^4x)^{\log_2(a\sin x)+1}=(a\sin2x)^{\log_2(a\sin2x)}$$
の$0\leqq x\leqq \frac\pi2$における解を$y$とする。
この時、以下の値を求めよ。
$$\int_0^1\frac1{\sin^2y}da$$

問題文

半径$3$の円に内接する六角形$ABCDEF$ は以下の2つの条件をみたします:

四角形$ABDE, BCEF,CDFA$は長方形
周長が$15$

このとき,三角形$ACE$の内接円の$\textbf{半径}$を求めてください。

解答形式

答は非負整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので$a+b$の値を半角数字で答えてください。

問題文

鋭角三角形$ABC$があり外心を$O$とする．直線$BO$と$AC$の交点を$D$とおくと$BC＝BD，DO＝5，AD＝6$であったので$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，辺 $BC,CA,AB$ の中点をそれぞれ $D,E,F$ とし，三角形 $ABC, DEF$ の垂心をそれぞれ $H_1, H_2$ とすると，以下が成立しました．$$H_1H_2=3\sqrt{3},\quad DH_2=1,\quad \angle{H_1H_2D}=150^{\circ}$$このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗の値を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$2a_na_{n+2}+n!a_{n+1}=3a_na_{n+1}+(n+1)!a_n+2a_{n+1}^2,~a_1=1,~a_2=2$を満たす数列${a_n}$について, $2048$以下の正整数$N$であって, $2a_N$が整数となるものはいくつありますか.

解答形式

半角数字で入力してください．

${}$　西暦2025年問題第7弾です。1月7日にお送りするはずでしたが、問題に不備が見つかり、9日の出題となってしまいました。
　さて、当シリーズのラスト問題は循環小数がテーマです。いくぶん面倒な解法を想定しています。電卓も併用しながらで構いません。じっくりお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める分数の分子のみを入力してください。
（例）$\dfrac{107}{2025}$ → $\color{blue}{107}$

問題文

数列 {${a_n}$} を以下のように定義する。

$$ a_{n+3} = a_{n+2}+ a_{n+1} - a_n,\quad a_1 = \alpha,\ a_2 = \beta, a_3 = \gamma $$

ただし、$\alpha,\ \beta,\ \gamma\ $は実数である。

1. $n$ が奇数のとき、$a_n$ は $n,\ \alpha,\ \gamma\ $のみで決定する（つまり$\ \beta\ $に依らない）ことを示せ。
2. この数列 {${a_n}$} の一般項を求めよ。

もし可能なら...

この問題について感想をくれると嬉しいです。例えば、以下の観点でコメント・批評があると嬉しいです。

1. 解ける学生のレベルは？
2. 入試として適切か？
3. 教材として適切か？
4. 各設問の面白さ（改善点）は？etc..

${}$　西暦2025年問題第6弾です。一見本格的な整数問題ですが、あいかわらず仕掛けを施しています。独特な時味の当問をどうぞお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める項の値をそのまま入力してください。
（例）第10項＝106 → $\color{blue}{106}$

$$\int^\sqrt2_{-\sqrt2}\sin x\cos x\{\tan x+\tan{(\frac{\pi}{2}-x)}\}dx$$

$$\int-\frac1{x^2}dx$$