数学の問題一覧

問題文

n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。

量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。

次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$

ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。

解答形式

半角で

問題文

次の方程式を満たす、素数 $p$ と正の整数 $n, m$ の組 $(p, n, m)$ を全て求めよ。
$$ p^n + 144 = m^2 $$

解答形式

条件を満たす組中の数字の総和を半角で入力してください

問題文

△ABCについて、Aから直線BCに下ろした垂足をD、点Bから直線CAに下ろした垂足をE、△ABCの垂心をHとしたとき以下が成立しました。$$AH=3,AE=2,AC=5$$△AHB:△HCDは互いに素な自然数a,bを用いてa:bと表せるのでa+bの値を解答してください。

解答形式

半角数字を入力してください。

問題文

九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において，$BN$と$AC$の交点を$P$，$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$，直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし，$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき，以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX　\tan\angle ACB=\frac{5}{6}　AB=10$$このとき，三角形$ABC$の面積を求めて下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

問題文

素数 $p,q,r,s$ が
$$p+q=r+s,pq+|p-q|=rs+|r-s|,pq≠rs$$
をみたすとき，$pq+rs$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

次を満たすような正整数の組 $(x,y,z)$ をすべて求めてください．
$$2^x+9^y+2025=2009^z-65-28$$

解答形式

簡単な証明をお書き下さい．

問題文

整数$x,y$を用いて$131560x+133650y=z$と書ける正整数 $z$ のうち，最小のものを求めてください．

解答形式

半角数字で回答して下さい．

問題文

$10000$ 以下の正整数の組 $(x,y,z)$であって次を満たすようなものについて， $xyz$ の総和を素数 $2113$ で割った商を求めて下さい．

$$ 2113\sqrt{x^2+y^2+z^2}=25x+60y+2112z$$

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

次の虫食い算について，$SUKEN=？$

解答形式

半角数字で入力して下さい．
但し$S≠E≠I≠K≠O≠U≠N$とします．

問題文

$6106$以下の正整数$N$について以下のようにスコアを定める．
スコア：整数$a,b(a≦b)$の組で$ab=N$を満たすようなものの個数．
スコアが$2$となるような$N$は何通りありますか．
但し，以下に示す10000以下の素数表を用いてもいい．
http://allthingsuniverse.com/jp/prime/10000.html

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

今年でSKG学院の文化祭は第$66$回を迎えます．また今年度は $2025$ 年です．

さて$0,2,5$ のみを用いた数式の内，答えが $66$ となるようなものを一つ求めてください．

但し，演算子($+, -, \times$ など)は自由に用いて良いものとします．

一例:

$\left( (2 \times 0 \times 2 \times 5)! + (2 \times 0 \times 2 \times 5)! \right) \times \left( 2^2 + 0^2 + 2^2 + 5^2 \right) = (1+1) \times 33 = 66$

解答形式

式と答えを省略無しで入力して下さい．上の例とは違うものをお願いします．

問題文

$R_{a}をa$桁のレピュニット数とします．
$R_{24}$を素因数分解しなさい．
但しレピュニット数とは，各桁が全て$1$である数のことを指します．

解答形式

ある相異なる正整数$a_{1}…a_{10}$を用いて，
$R_{24}=a_{1} \times a_{2} \times … \times a_{10} $と書けるので，$a_{1}+…+a_{10}$の値を求め，半角数字で入力して下さい．