数学の問題一覧
問題文
$n$を自然数とする。$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} n^k$を$8$で割った余りを$a_{n}$、 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$とする。すべての$n$に対して$a_{n+l}=a_{n}$が成り立つような自然数$l$の最小値と$S_{m+2025}=2S_{m}$が成り立つような自然数$m$の最大値を求めよ。
解答形式
1行目に$l$を,2行目に$m$を半角英数字で解答してください。例えば$l=123,m=456$とする場合
123
456
としてください。
問題文
以下の条件１を満たす正整数列 $a_n\ (n \ge 1)$ を考える.
条件１：
$\cdot \ n\ge 1$ なる正整数 $n$ において, $a_{n+1}$ は $a_{n}$ 以下の正整数であって $a_{n}$ と互いに素なものの個数に等しい.
適切に $a_1$ を決めると以下の条件２が成立しました. このときの $a_1$ としてありうる値の個数を解答してください.
条件２：
$\cdot$ $a_1$ の任意の素因数は十進数表記で $1$ 桁である.
$\cdot$ 任意の $i,j \ge N$ なる整数 $(i,j)$ の組について, $a_i=a_j$ となる最小の $N$ が $N=13$ である.
解答形式
解答を非負整数で入力してください．
問題文
三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし，辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると，以下が成立した：
$$\angle{DME}=90^{\circ}，AD=6，DB=2，AE=7，EC=3$$
このとき，辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．
解答形式
非負整数で解答してください．
問題文
以下の条件を満たすような $15$ 個の白石と $15$ 個の黒石の並べ方は何通りありますか．
- 任意の白石について，その石の左側にある黒石の個数は $2$ の倍数である．
- 任意の黒石について，その石の左側にある白石の個数は $3$ の倍数である．
解答形式
非負整数で解答してください．
問題文
$x$ についての方程式 $xe^{2\sqrt{x}}=9(\log{3})^2$ の実数解を求めよ。
解答形式
解をすべて答えてください。値の小さい順に1行目から入力してください。
なお，解答にあたって，特殊な数式は次のように入力してください。
対数：$\log_n{m}$ = \log_{n}{m}, $\log{m}$ = \log{m}
指数（$\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください）：$n^{m}$ = n^{m}
分数：$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}
問題文
複素数の数列$\lbrace z_{n}\rbrace (n=0, 1, 2, ...)$は
$$
z_{n+1}=\left\lvert\frac{z_{n}+\bar{z_{n}}}{2}\right\rvert z_{n} (n=0,1,2,...)
$$
を満たしている。このとき，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}z_{n}$が収束するような$z_{0}$の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。
解答形式
この存在範囲を数式で表現してください。最も簡単な1つの等式あるいは不等式を用いてください。