甘酸っぱい定積分１

問題文

$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める.
\begin{aligned}
&a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\
&b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots)
\end{aligned}

(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ.
(2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.

解答形式

(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)

備考

本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.

問題文

解答形式

半角で入力してください。
また、必要であればe,πを用いてください。

問題文

$I=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{\sin^{2\cdot2}x -2\sin^2x+2} dx$を求めよ。

解答形式

答えは、
$\displaystyle I=\frac{\pi}{a\sqrt{b}}(c\log(\sqrt{d}+e)+\pi)$の形になります。($a,b,c,d,e$は1桁の自然数)
「abcde」(5桁の自然数)を入力してください。なお、センター、共通テスト形式で数字を埋めてください。

問題文

$x$ についての方程式 $xe^{2\sqrt{x}}=9(\log{3})^2$ の実数解を求めよ。

解答形式

解をすべて答えてください。値の小さい順に1行目から入力してください。
なお，解答にあたって，特殊な数式は次のように入力してください。

対数：$\log_n{m}$ = \log_{n}{m}, $\log{m}$ = \log{m}
指数（$\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください）：$n^{m}$ = n^{m}
分数：$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}

問題文

$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$

少し問題を変更いたしました。ご迷惑をおかけしてしまい申し訳ございません。

解答形式

$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。

問題文

図のような、一目盛りが1cmの方眼に書いた図形があります。三角形ABCと三角形ACEは合同で、角ADF=90°です。DFは何cmですか。

解答形式

四捨五入して小数第2位まで、半角数字で答えてください。
例）$\frac{52}{3}$→17.33

問題文

$2024!$の約数の和は$2025$の倍数であることを示せ。

問題文

凸四角形ABCDが∠ABD＝12°、∠DBC＝84°、∠ADB＝18°、BD＝BCを満たすとき、角ACDは何度ですか。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

次の文章の$\fbox{1},\dotsc,\fbox{6}$に当てはまる数を求めよ。

$$
a_{n} = \int_{1}^{e^{0.1}}(\log{x})^{n}dx \qquad (n=0,1,2,\dotsc)
$$とする。部分積分法を用いることで，漸化式
$$
a_{n} = (\fbox{1})^{n}\cdot e^{\fbox{2}} - na_{n-1} \qquad (n\geq1)
$$を得る。$a_{3}$は，有理数$\fbox{3},\fbox{4}$を用いて
$$
a_{3} = \fbox{3}e^{\fbox{2}}+\fbox{4}
$$と表せる。$1\leq x\leq e^{0.1}$のとき$0\leq(\log{x})^{n}\leq0.1^{n}$より$0\leq a_{n}\leq(e^{0.1}-1)\cdot0.1^{n}$である。$n=3$に対してこの不等式を用いることにより$e^{-0.1}$を小数点第4位まで求めることができる。$e^{-0.1}$の小数点第5位以下を切り捨てた小数点第4位までの値は$\fbox{5}$である。

また，$\displaystyle b_{n}=\frac{(-1)^{n}e^{-0.1}}{n!}a_{n}$とすることで$a_{n},b_{n}$の一般項は容易に求められる。
$$
0 \leq |b_{n}| = \frac{e^{-0.1}a_{n}}{n!} < \frac{1-e^{-0.1}}{10^{n}\cdot n!}
$$より，はさみうちの原理から$\displaystyle\lim_{n\to\infty}|b_{n}| = 0$，つまり
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-0.1)^{n}}{n!} = e^{\fbox{6}}
$$が求められる。

解答形式

$\mathrm{i}=1,\dotsc,6$に対し，$\fbox{i}$に当てはまる数を$\mathrm{i}$行目に半角で答えてください。例えば，$\fbox{1},\dotsc,\fbox{6}$にそれぞれ$1.2,3.45,-6,7.89,1.2356,-2.3$が当てはまるときは

1.2
3.45
-6
7.89
1.2356
-2.3

と解答してください。

問題

次の関数 $x,y$ における定数 $c$ の命題「つねに $x\geqq 3$ ならば $y$ の値域幅は $c$ 以上」は真か．$$0\leqq t\leqq 2c,\quad x=|t-c|+|t-3|+|t-5|,\quad y=|||t-1|-2|-3|$$

解答形式

逆，裏，対偶それぞれの整数反例の和を半角数字で入力してください．

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数$f$であって、任意の実数$x,y$に対して$$f(f(x)+y)=2f^{[|y|]}(x)+f^{[|x|]}(y)$$を満たすものを全て求めてください。ただし、$f^{s}(t)$は$$f^{s}(t)=f(f(f(…f(t)))…),f^0(x)=0$$($f$が$s$個)、$[α]$は$α$以下の最大の整数とします。

＊解答だけで構いません。

双六でnマス目に止まる確率を求めよ。
ただし、n≦10、さいころは1個とする。

解答形式

初投稿で難易度設定とか解答の作り方とかよく分かってないので間違っていたらすみません。
・アルファベット&記号は全て半角(ただし、マイナスについては基本的に「ー」を使い、aのb-1乗のような場合では「-」を使います。)
・a分のbのc乗→(b/a)^c
・b/a+d/cのようなものは1項にまとめてください。
・場合分けがある場合は
n≦aのとき(解答)
b≦n≦cのとき(解答)
といったように改行して答えてください。