数学の問題一覧

問題文

5進数で表された[2024]を2進数で表せ。

解答形式

数字のみでOK

問題文

5進数で表された[2024]を2進数で表せ。

解答形式

数字のみでOK

問題文

$1$ 以上 $100000$ 以下の整数から無作為に1つ選ぶとき,全ての桁の数がそれぞれ素数になる確率は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せます．$a+b$ を解答してください．

例えば，$23$ は各桁の数が $2$ と $3$ で，これは全ての桁の数が素数になります．
$17$ は各桁の数が $1$ と $7$ ですが，$1$ は素数ではないので全ての桁の数が素数にはなりません．

回答形式

非負整数を半角で回答してください。

問題文を一部変更しましたが答える内容は変わっていません。

問題文

実数$x$についての以下の方程式を解いてください。($0\leq x\leq 1$)
$$\tan(\color{red}{\sin^{-1}x})+\cot(\color{blue}{\cos^{-1}x})=\sin(\color{green}{\cot^{-1}x})+\cos(\color{purple}{\tan^{-1}x})$$
ただし$\cot{x}$は$\frac{1}{\tan{x}}$を意味し、$\sin^{-1}x,\cos^{-1}x,\cot^{-1}x,\tan^{-1}x$でそれぞれの逆関数を表すこととします。

（※定義域と値域の取り方はWikipedia等にあるような一般的なものを用います）

解答形式

解は一つに定まり、整数$a,b$を用いて$x=\sqrt{a+\sqrt{b}}$と書けるので、$a^{10}+b^{10}$の値を半角英数字で入力してください。

問題文

正12角形ABCDEFGHIJKLの中心をOとし、半径をAOとする円Oを描くと、2つの図形の面積の差が2023になりました。ABの長さの2乗を求めなさい。但し、円周率は7分の22とします。

解答形式

例）解はa(b-√c)と表せるのでa+b+cを半角で回答してください。

問題文

$a$と$r$を正の実数とし, $a>\frac{1}{2}$であるものとします.
放物線$K$と円$L$を次のように定めます.
$$K: y=x^2\,\,,\,\,L: x^2+(y-a)^2=r^2$$ このとき, $K$と$L$は接しています.その接点を第2象限にあるものを$A$, 第1象限にあるものを$B$とし, 円$L$の中心を$P$, 直線$AP$と円$L$の$A$でない交点を$C$, $x$軸との交点を$Q$とします.また, △$ABC$の面積を$S$,
四角形$PQOB$の面積を$T$とするとき, 次の等式を満たしました. $$\frac{T}{S}=689$$ $a$は1つの非負整数に定まりますのでその値を求めてください.

解答形式

非負整数を半角で入力してください.

問題

一般項${a_n}=3(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}+\frac{(\sqrt{5}-1)^{n-1}}{2}+\frac{(\sqrt{5}+1)^{n-1}}{3}+(\sqrt{2}-1)^{n-1}$を与える数列${a_n}$の漸化式を考えることにより$x$についての方程式 $$x^4+(1-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-2\sqrt{5})x^3+(4-\frac{\sqrt{3}}{2}-2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{6}}{2}+2\sqrt{10}+\sqrt{15})x^2+(4-4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{30})x-2\sqrt{3}+2\sqrt{6}=0$$ を解いてください。

解答形式

それぞれの解について、実数の場合はその整数部分、複素数の場合は実数部分の整数部分を求め、それらを全て足し合わせた数を半角で1行目に入力してください。

問題

$ｎ$を $0$ でない実数とします。以下の定積分を求めてください。

解答形式

答えだけでもいいですが、方針があると嬉しいです。

問題文

以下の関数$f(x)$の最小値の$2$乗を求めてください。($x$は実数)

$$\begin{align} f(x)= \ &\bigg\{48\lim_{N\rightarrow\infty}\Bigg(\sum_{k=0}^{N}\frac{\sqrt{N^2+k^2}}{N^2}\Bigg)-12\log\big(3+2\sqrt{2}\big)\bigg\}x^4\\ &+\sqrt{2} \ d\Bigg(\sum_{n=10}^{20}{}_n\mathrm{C}_{10}\Bigg)x^3-\bigg\{\max_{\theta\in\mathbb{R}}\bigg|\begin{pmatrix}96\\96\sqrt{7}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}\bigg|\bigg\}x^2\\ &-768\sqrt{2}\Bigg(\mathrm{Re}\sum_{m=0}^{\infty}\Big\{2^{-\frac{m}{2}}\Big(\cos\frac{m\pi}{12}+i\sin\frac{m\pi}{12}\Big)\Big\}-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigg)x+120\sqrt{2} \end{align}$$

ただし、$d(n)$は約数個数関数、縦書きの()はベクトル、$|A|$は絶対値、$\max_{\theta\in\mathbb{R}}f(\theta)$は$\theta$を実数範囲で動かしたときの$f(\theta)$の最大値、$\mathrm{Re}(z)$は$z$の実部を表します。

解答形式

非負整数を半角英数字で入力してください。

問題文

図1は、あるへこみのない立体の展開図です。図1は合同な正方形2個、合同な菱型4個、合同な台形8個からなり、これを組み立てると2個の正方形1組がたがいに向かい合い、2個の台形4組がたがいに向かい合い、2個の菱形2組がたがいに向かい合います。また、図2は図1に使われている3種類の図形を、1目盛りが1cmの方眼用紙に描いたものです。図1を組み立ててできる立体の体積は何cm$^3$ですか。
　　　　　　　　　　　　　　図1

　　　　　　　　　　　　　　図2

解答形式

四捨五入して整数で答えてください。
例)$\frac{17}{4}cm^3$→4

問題文

$∠$A=69°、$∠$B=66°、$∠$C=45°である三角形ABCがあります。辺AC上にAB=DBとなる点Dをとり、辺BC上にAB=AEとなる点Eをとりました。DBとEAの交点をFとします。三角形AFBの周りの長さが12cmの時、三角形ABCの面積の2倍と三角形ABFの面積の和は何cm$^2$ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

任意の自然数$m,n$に対し、$A(m,n)$は
$$A(1,n) = n, \quad A(m+1,n) = \sum_{k=1}^{n}A(m,k)$$ を満たす。このとき、$A(x,y)=2024$を満たす自然数$x,y$の組$(x,y)$を求めよ。

解答形式

$x+y$の総和を半角で解答してください。