数学の問題一覧

高さが100cmで底面積が600cm²の直方体の形をした水槽がある。この水槽は通常の水槽とは異なり、水槽の底面を上下移動させることができる。（底面が移動するとそれに伴って水も移動するため、水面も移動する。）
まず、底面を1番下にした状態で毎分500cm³で40分間、水を入れた。
次に底面を上にXcm移動させた。
そして底面が上に移動した状態で毎分600cm³で60分間、水を入れた。
そして底面を上にXcm移動させると、4000 cm³ だけ水が溢れ出た。

この時、Xの値を求めなさい。ただし分数になる場合は以下のように答えなさい。

（例　1/2の場合は12 54/73の場合は5473 22/23の場合は2223 と答える ）

4×4の16マスがある。このマス目を赤、青、黄、緑で塗ることを考える。

A：縦と横のどの辺をとっても赤、青、黄、緑が一回ずつ出現する。
B：以下のように4つの部屋に分割したときにどの部屋をとっても赤、青、黄、緑が1回ずつ出現する。
□□｜□□
□□｜□□
＿＿｜＿＿
□□｜□□
□□｜□□

AとBを両方満たす塗り方は何通りありますか？
（例：30通りだったら、30と答えなさい）

【補助線主体の図形問題 #091】
　図形の構造から面積比を求める問題を「面積関係」を称してしばしば出題してきました。今回はちょっと趣向を変えて、逆に面積比から辺比を求める問題です。式を立てるところまでは暗算で行けます。補助線と存分に戯れてください！

《参考》過去出題分から面積関係を問うている問題を一部抜粋

• 外接し合う3円と共通外接線
  https://pororocca.com/problem/552/
• 三角形の3等分点と垂線がつくる六角形
  https://pororocca.com/problem/588/
• 3つの平行四辺形の重心を結んだ三角形
  https://pororocca.com/problem/750/
• 4つの正五角形と1つの正方形
  https://pororocca.com/problem/1175/

${}$　他にもこのような問題にあたりたい場合には
https://pororocca.com/problem/?category=5&name=&dif_min=&dif_max=&tag=%E9%9D%A2%E7%A9%8D&sort_by=oldest
にアクセスすると一望できます。ただし、いわゆる普通の求積問題も交じっていることをご了解願います。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

座標平面上の $|x|≦1$ かつ $|y|≦1$ を満たす領域を $D$ とする。また傾き $1$ の直線を $l$, $y=x^2$ のグラフを平行移動したグラフ $C$ の頂点を $P$ とする。$l$ を $D$ と共有点を持つように, $C$ を $P$ が $D$ 内に存在するように無作為にとるとき, $l$ と $C$ が交わる確率を求めよ。

解答形式

少数第4位を四捨五入して, 少数第3位までを,半角数字で解答してください。

問題文

$nを2以上の整数とする。n!を,n^3-nで割った余りと,n^nで割った余りが等しくなるnを全て求めよ。$

解答形式

$半角数字でnの値が小さい順に一行ずつ解答してください。$
$(例)n=2,3,4となったとき$
2
3
4

問題文

級数
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}-\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}+\cdots$$
の収束値を求めよ. ただし, この級数の第 $n$ 項の絶対値は $\dfrac{1}{n}$ であり, 各項の符号は $4$ 項ごとに交代する.

解答形式

収束値は $\fbox{A}\text{ - }\fbox{F}$ をいずれも自然数として最も簡単な形で $\displaystyle{\frac{\fbox{A}+\fbox{B}\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}}\pi+\frac{\log{\fbox{E}}}{\fbox{F}}}$
と 表されます. 文字列 $\fbox{A}\,\fbox{B}\,\fbox{C}\,\fbox{D}\,\fbox{E}\,\fbox{F}$ を解答してください.

【補助線主体の図形問題 #090】
　間もなく迎える3月14日は円周率$\pi$の近似値$3.14$から「円周率の日」、転じて「数学の日」に指定されています。そんな「円周率の日」「数学の日」に先んじて円だらけの問題を用意しました。手慣れた方なら暗算で行けるかもしれません。今一時、円だらけの図形と戯れてみてください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #089】
　今週の図形問題は円＆等脚台形というありがちな素材でありながら、ちょいとひねって解きにくい問題となっています。方針によって計算量は大きく変わりますが、想定解ではちょっとしたメモ帳で収まる量です。補助線と共に試行錯誤を楽しんでもらえたら幸いです。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #088】
　しばしば休んでしまいましたが、今週の図形問題をお送りします。今週は意味ありげな折れ線を登場させてみました。いろいろな関係を発見しながら、どうぞお楽しみください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

定点 $\mathrm{P_0}$, $\mathrm{P}$ があり, $\mathrm{P_0 P}=1$ を満たしている.
線分 $\mathrm{P_0 P}$ の中点を $\mathrm{P_1}$,
線分 $\mathrm{P_1 P}$ の中点を $\mathrm{P_2}$,
線分 $\mathrm{P_2 P}$ の中点を $\mathrm{P_3}$, ... というように, $n\in\mathbb{N}$ に対し, 点 $\mathrm{P_\mathit{n}}$ を 線分 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1}\mathrm{P}}$ の中点として, 線分 $\mathrm{P_0 P}$ 上に無数の点をとる. いま, このようにしてできた全ての点が同時に出発して, 点 $\mathrm{P_\mathit{n}}$ が点 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1}}$ を中心として円を描くように動くとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{P_\mathit{n}}$ が描く曲線の長さを求めよ.
ただし, 線分 $\mathrm{P_0 P_1}$ が線分 $\mathrm{P_0 P}$ に対してなす角,
線分 $\mathrm{P_1 P_2}$ が線分 $\mathrm{P_0 P_1}$ に対してなす角,
線分 $\mathrm{P_2 P_3}$ が線分 $\mathrm{P_1 P_2}$ に対してなす角, ...
線分 $\mathrm{P_\mathit{n} P_{\mathit{n}+1}}$ が線分 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1} P_\mathit{n}}$ に対してなす角の変化はすべて等しく, 一定の割合であるとする.

2023/02/22 訂正:

tima_C様のご指摘を受け、難易度を変更しました.

2023/03/21 訂正:

解答形式を変更しました. 解答に影響はありません.

解答形式

スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて $\mathrm{\LaTeX}$ 形式で解答してください. $は必要ありません.

ただし, 文字や根号などの係数が分数の場合は
$$
\frac{3}{2}x\rightarrow\frac{3x}{2}
$$
のように, 文字を分子にまとめてください.

問題文

$2^{p}+7^{q}=r^{p+q-r}$を満たす素数の組$(p,q,r)$をすべて求めよ．

解答形式

文字列$pqr$を，半角数字で解答してください．解が複数ある場合は，
(1)　$p$の値が小さい順
(2)　$p$の値が等しい組は，$q$の値が小さい順
(3)　$p,q$の値がともに等しい組は，$r$の値が小さい順
に，1行に1つずつ書いてください．

追記

どなたか素数に限らない整数解を全て求めてくださるとありがたいです．

問題文

$2^{n}+6n+1$が平方数となるような自然数$n$の値をすべて求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．解が複数ある場合は，小さいものから順に，1行に1つずつ書いてください．