数学の問題一覧
問題
(1) 定積分
$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$
の値を求めよ。
(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を
$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$
で定める。定積分
$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$
の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。
備考
この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。
問題文
「ボ」と「ー」からなる文字列のうち，以下の条件を満たすものをボー文字列と呼ぶことにします．
条件：長音記号「ー」が文字列の先頭にくることはなく，連続して現れない．
例えば，「ボボー」や「ボーボボ」はボー文字列ですが，「ーボー」や「ボボーー」はボー文字列ではありません．
ボー文字列に対して，次の操作を行うことを考えます．
操作：ボー文字列に対して，次のうちいずれか一方を行う．
- （A）文字列のどこか1ヶ所に長音記号「ー」を付け加える．
- （B）文字列の末尾に「ボ」を付け加える．
ただし，得られた文字列はボー文字列でなければならない．
1文字「ボ」から始めて，ボー文字列に対してくり返し操作を行い $n$ 文字からなるボー文字列が得られたとします．異なる操作の仕方の総数を $a_n$ とするとき，$a_{10}$ を求めなさい．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ を $2\times 2$ 正則行列全体の集合とする．単位行列を $E$ とし，${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ の部分集合 $S$ を
\begin{equation}
S=\{ A\in {\rm GL}(2,\mathbb{R})\mid \forall X\in {\rm GL}(2,\mathbb{R}), AX=XA\}
\end{equation}
で定めるとき
\begin{equation}
S=\{ rE \mid r\in \mathbb{R}, r\neq 0\}
\end{equation}
であることを証明せよ．
問題文
$m$ と $n$ を互いに素な自然数とします．実数係数多項式 $f(x)$ が次の性質をもっているとき，$f(x)$ を $m,n$-生成の多項式と呼ぶことにします．
- 性質：すべての実数係数多項式 $g(x)$に対して，$f(x)g(x)=h(x^m, x^n)$ となるような実数係数の2変数多項式 $h(x,y)$ が存在する．
$x^k$ がすべての $10,n$-生成の多項式を割り切るような最大の自然数 $k$ は
です．ただし，単項式も多項式に含まれるとします．
解答形式
センター試験方式です．ア，イ，ウにはそれぞれ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 および -,a,b,c,d のいずれか1文字が当てはまります．ア，イ，ウに 1, 2, 3 が当てはまるなら，123 と回答してください．
問題文
https://pororocca.com/problem/19/
こちらの問題の設定で，「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．
解答形式
半角数字で入力してください．
問題文
ピザが1枚ずつ乗った $N\;(\geq 2)$ 枚の皿が横一列に並んでいます．ピザには表と裏があり，表には具がのっていて，裏にはのっていません．はじめ，すべての皿のピザは表が上になっています．これらのピザに対して，次の操作Xを考えます．
操作X：
- 隣り合う2枚の皿に着目し，左側の皿に乗っているピザをひっくり返し，右側の皿の一番上に重ねる．ピザが複数枚乗っている場合は，ピザを重ねたまままるごとひっくり返す．
- 左側の皿を取り除き，皿どうしのすき間を詰める．
この操作Xを$\;N-1\;$回繰り返すと，1枚の皿にピザの塔ができます．操作Xの $N-1$ 回の繰り返しをピザの調理ということにします．ピザの塔を構成するピザを，上から順に$\;P_i\; (i=1,\cdots, N)\;$とし，$P_i$ が表を上に向けているとき「表」，裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると，ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます．
$N=6$とします．「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．
解答形式
半角数字で入力してください．