数学の問題一覧

問題文

$n=0, 1,\cdots$ に対して

$$\begin{equation} I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1-x^4}}dx \end{equation}$$

と定める。この広義積分は収束することが知られている。

任意の $n=0,1,\cdots$ に対して
$$\begin{equation} I_{n+\fbox{ア}}=\frac{n+\fbox{イ}}{n+\fbox{ウ}}I_n \end{equation}$$ が成り立つ（ただし $\fbox{ア}$ は $0$ でない）。これを利用すると

$$\begin{equation} \prod_{n=1}^{\infty} \left[1-\frac{4}{(4n-1)^2}\right]=\frac{\fbox{エ}\;\pi^{\fbox{オ}}}{\alpha^{\fbox{カ}}} \end{equation}$$ が導かれる。ここで $\alpha$ は

$$\begin{equation} \alpha=\int_0^{\infty} t^{-3/4}e^{-t}dt=\Gamma\left(\frac{1}{4}\right) \end{equation}$$ で定義される定数である（この広義積分は収束することが知られている）。

注意事項

以下の事実は証明なしに用いてよい。

• 実数 $x>0$ に対して，広義積分
  $$\begin{equation} \Gamma(x) := \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt \end{equation}$$ は収束する。
• 実数 $x>0$ に対して
  $$\begin{equation} \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \end{equation}$$ が成り立つ。
• 実数 $x, y>0$ に対して
  $$\begin{equation} \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\;dt \end{equation}$$ が成り立つ。ただし，右辺の広義積分は収束することが知られている。
• 実数 $0<x<1$ に対して
  $$\begin{equation} \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x} \end{equation}$$ が成り立つ（相反公式）。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ には，半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ に当てはまるものを，改行区切りで入力してください。

問題文

$x$ についての2次方程式
$$3x^2+(5k-4)x+4k = 0$$ が異なる2つの正の実数解 $\alpha,\beta\;(\alpha<\beta)$ を持ち、$\beta$ の小数部分が $\alpha$ である。このとき、$k$ の値を求めよ。

解答形式

解答は
$$\frac{N-\sqrt{M}}{L}$$ と表わされる（$N,M,L$ は自然数）。分数や平方根は最も簡単な形にしてある。解答欄には $N, M, L$ の値をそれぞれ 1, 2, 3 行目に半角数字で入力せよ。

問題文

$x=0$ で微分可能な実数値連続関数 $f(x),g(x)$ は任意の実数 $x,y$ に対して以下の式を満たすとする。以下の空欄を埋めよ。

$$f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)\\g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)$$

$f'(0)=2,g'(0)=1$ であるとする。今 $f(0)=\fbox{ア},g(0)=\fbox{イ}$ であるので

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\fbox{ウ}f(x)+\fbox{エ}g(x)\\\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\fbox{オ}f(x)+\fbox{カ}g(x)$$

となる。 $h(x)=(f(x))^2+(g(x))^2$ とおくと

$$h'(x)=\fbox{キ}h(x)$$

これより

$$\dfrac{d}{dx}(h(x)e^{-\fbox{キ}x})=\fbox{ク}$$

がわかるので、

$$h(x)=\fbox{ケ}e^{\fbox{コ}x}$$

を得る。

解答形式

半角数字で改行区切りで記述せよ。たとえば $\fbox{ア}$ に $100$ , $\fbox{イ}$ に $-99$ と答えたい場合には１行目に $100$ , ２行目に $-99$ を記述せよ。

問題文

$xy$ 平面上に原点を中心とする単位円 $C$ が存在する。$C$ 上の点 ${\rm A,B}$ は第一象限に存在し，それぞれ $x$ 座標が $\cfrac{1}{4}, \cfrac{3}{4}$ である。また、楕円$D$が存在し、その式は
$$\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q} = 1~~~~(p>q>0)$$
と表される。

ある直線が円 $C$ 上の弧 ${\rm AB}$ のうち短い方（両端を含む）と接していて，なおかつ楕円 $D$ とも接している。この2つの接点の距離が $1$ であるとき、$p$ の最大値を求めよ。
(追記:2020年6月29日1:25 問題の不備を修正いたしました。解答は変わりません。)

解答形式

解答は，自然数 $a,b$ を用いて
$$a+\sqrt{b}$$ という形で表される（平方根は最も簡単な形にしてある）。解答欄には，一行目に $a$、2行目に $b$ の値を半角数字で入力せよ。

問題文

$n$ を非負整数とする。縦の長さが $3$，横の長さが $2n$ の長方形をした部屋を，辺の長さが $1$ と $2$ の長方形の畳で敷き詰める方法の総数を $a_n$ とする。ただし，部屋を固定したとき，畳を回転または反転させて一致するような敷き詰め方は区別して数える。また，便宜上 $a_0=1$ と約束する。

例えば，縦の長さが $3$，横の長さが $2$ である部屋を畳で敷き詰める方法は
の $3$ 通りだから $a_1=3$ である。このとき
$$a_n=\fbox{ア}\;a_{n-1}+\fbox{イ}\;\sum_{k=0}^{n-2}a_k\quad (n=2,3,\cdots)$$ が成り立つから
$$a_4=\fbox{ウエオ}$$ である。また，上の漸化式を変形すると
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\fbox{カ}+\sqrt{\fbox{キ}}$$ が成り立つことが分かる。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ には，半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ に当てはまるものを，改行区切りで入力してください。

問題文

半円2つが図のように配置されています。
赤い線分と青い線分は長さの比が1:2です。
このとき、Xの角度を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。
「度」や「°」は付けないでください。
例：X=57°　→　57

問題文

実数 $A,B,C \ (-\pi/2<A<B<C<\pi/2)$ が

$$\frac{1+\tan^3{A}}{1+3\tan^2A}=\frac{1+\tan^3{B}}{1+3\tan^2B}=\frac{1+\tan^3{C}}{1+3\tan^2C}\\ $$

をみたして動くとき、$\tan{(A+B+C)}$ がとりうる値の範囲を求めよ。

解答形式

解は $m<\tan{(A+B+C)}< M$ の形で、$m,M$ はどちらも整数である。
$m,M$の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。
例えば $m=-33, M=4$ と解答する場合、1行目に「-33」、2行目に「4」と入力せよ。

(20/06/21: よりシンプルな問題文に直しました。答えはそのままです。)

問題文

おかぴんはチョコレート入りの袋が3袋入った箱を持っていて、これから食べようとしています。
しかし、おかぴんは怠惰なので食べ終わった空の袋を捨てずに、再び箱の中に入れてしまいます。
箱の中から1袋ずつ取り出して、それがチョコレートの入った袋だったなら食べて箱の中に空の袋を戻し、それが空の袋だったなら食べずにそのまま箱の中に戻す、という試行を繰り返します。
チョコレートの入った袋を取り出す確率も空の袋を取り出す確率も同様に確からしいとするとき、箱の中の全てのチョコレートを食べ終えるまでの試行回数の期待値を求めてください。

解答形式

答えは$\frac{\fboxア}{\fboxイ}$(ただし既約分数)となります。$\fboxア\fboxイ$に入る数字をそれぞれ1,2行目に半角で入力してください。

問題文

$$\int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{3} \frac{dx}{x^4-1} =-\frac{1}{\fboxア}\log\fboxイ-\frac{\pi}{\fboxウ}$$

解答形式

$\fboxア\fboxイ\fboxウ$に入る数字をそれぞれ1,2,3行目に半角で入力してください。($\log$の中身は最も簡単な形にしてください)

問題文

$n\geq 2$ を自然数とする。$2$ 進数表記で
$$\begin{equation} N=\underbrace{11\cdots 11}_n \underbrace{00\cdots 00} _ {n-1} {} _ {(2)} \end{equation}$$ と表される自然数 $N$ を考える。$n=13$ のとき，$N$ の正の約数の総和を求めなさい。

解答形式

$2$ 進数で答えなさい。

問題文

緑色の線分の長さは１です。
このとき、円の面積を求めてください。
図中の赤点はそれを含む線分の中点です。

解答形式

答えは(分数)×πの形になります。
分子を１行目に、分母を２行目に半角数字で入力してください。
ただし、既約分数の形で解答してください。
例: (10/3)π　→　１行目に10、２行目に3

問題文

数列 $\{ a_n \}$ $(n=1,2\dots)$ を、
$$a_1=1,\ a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n}\frac{8k-3}{4n^2-1}a_k\ (n = 1,2,...)$$

で定める。$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_{n}}$ を求めよ。

解答形式

求める極限値は、ある有理数 $q$ を用いて $q \pi$ と表せる。この $q$ を小数で表し、小数第4位を四捨五入したものを入力せよ。すべて半角数字で入力すること。なお、もし $3/2=1.5$のようになる場合は、$1.500$ と入力せよ。