数学の問題一覧
問題文
正整数 $3$ つの集合 $S$ であって，以下を同時にみたすものは全部でいくつありますか？
- $S$ に属する $3$ 数を十進数表記したときすべて $3$ 桁であり，それぞれの桁に $1, 2, ..., 9$ がすべて $1$ 回ずつ現れる．
- $S$ から相異なる $2$ 数 $a, b$ を選ぶ方法であって，$a + b = 1110$ をみたすものが存在する．
解答形式
半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．
問題文
$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，内心を $I$，$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると，四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました．$AB$ の長さを求めてください．
問題文
$AB=12，BC＝14，CA＝16$の三角形$ABC$があり$∠A$の内角二等分線と
$BC$の交点を$D$とする．線分$AC$上に$DB＝DE$となる点$E$をとるとき，
$CE$の長さとしてあり得る値の総和を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$2$ 行 $2025$ 列のマス目の各マスに $1$ 以上 $4050$ 以下の整数を $1$ つずつ書き込む方法であって, 以下の条件を満たす書き込みを一筆書きと呼びます．
- $1$ は $1$ 行 $1$ 列目のマスに書き込む．
- $2$ 以上 $4050$ 以下の任意の整数 $k$ に対して，$k$ が書き込まれたマスは $k-1$ が書き込まれたマスに隣接する．
各一筆書きに対して，$2025$ が $i$ 行 $j$ 列目に書き込まれているとき，その一筆書きのスコアを $i+j$ で定めます．全ての一筆書きに対して，そのスコアを足し合わせた総和を求めてください．
問題文
実数 $A,B,C \ (-\pi/2<A<B<C<\pi/2)$ が
$$
\frac{1+\tan^3{A}}{1+3\tan^2A}=\frac{1+\tan^3{B}}{1+3\tan^2B}=\frac{1+\tan^3{C}}{1+3\tan^2C}\\
$$
をみたして動くとき、$\tan{(A+B+C)}$ がとりうる値の範囲を求めよ。
解答形式
解は $ m<\tan{(A+B+C)}< M$ の形で、$m,M$ はどちらも整数である。
$m,M$の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。
例えば $m=-33, M=4$ と解答する場合、1行目に「-33」、2行目に「4」と入力せよ。
(20/06/21: よりシンプルな問題文に直しました。答えはそのままです。)
問題文
鋭角三角形$ABC$があり$BC$の中点を$M$とし，$B$から$AC$におろした垂線の足を
$D$とする．$AM$と$BD$の交点を$P$とし，半直線$CP$と$AB$の交点を$E$とすると$∠DEP＝∠DMP，
DM＝5，EM＝2$が成立したので
三角形$ABC$の面積の$2$乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$n$ を $3$ 以上の整数とする。はじめ、黒板には $n-1$ 個の有理数 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n} $ が書かれている。黒板から $2$ つの有理数 $x,y$ を選んで消し、新たに有理数 $\displaystyle \frac{x+y}{1+xy} $ を書くという操作を繰り返し行う。そして、最後に黒板に残った $1$ つの有理数を既約分数として表すと、分子が $899$ で割り切れた。
このようなことが起こる最小の $n$ を求めよ。
解答形式
条件を満たす $n$ の最小値を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
問題文
$AB=5, AC=7$ なる三角形 $ABC$ について，$A$ から $BC$ に下ろした垂線と円 $ABC$ の交点を $D(\neq A)$，$BC$ の中点を $M$ とします．$\angle AMD=90^{\circ}$ であるとき，$BC$ の長さの四乗を求めてください．
問題文
三角形$ABC$の重心を$G$とすると$AB=5，AC=7，BG=2$であった.
このとき$CG$の長さの$2$乗を解答してください.
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．