数学の問題一覧
$100\times 100$ のマス目があります. 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目のマスを $100(i-1)+j$ と呼ぶことにします. SMC 君は一般的な $6$ 面サイコロを $10000$ 回振り, $i$ 回目に振って出た目をマス $i$ に書き込みます. このとき, 以下の条件を満たす確率を $p$ とするとき, $6^{10000}p$ は整数になるので, 素数 $3299$ で割った余りを求めてください.
- 任意の行について, その行のマスに書かれた整数の総和は偶数.
- 任意の列について, その列のマスに書かれた整数の総和は $3$ の倍数.
問題文
四角形ABCDは正方形で、点E,F,G,Hは辺の中点です。四角形ABCDの面積が54㎠のとき、青い部分の面積は何㎠ですか。
解答形式
半角数字で入力してください。
例）10
問題文
$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $D$ とすると，$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました．また，辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています．$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき，線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
「ボ」と「ー」からなる文字列のうち，以下の条件を満たすものをボー文字列と呼ぶことにします．
条件：長音記号「ー」が文字列の先頭にくることはなく，連続して現れない．
例えば，「ボボー」や「ボーボボ」はボー文字列ですが，「ーボー」や「ボボーー」はボー文字列ではありません．
ボー文字列に対して，次の操作を行うことを考えます．
操作：ボー文字列に対して，次のうちいずれか一方を行う．
- （A）文字列のどこか1ヶ所に長音記号「ー」を付け加える．
- （B）文字列の末尾に「ボ」を付け加える．
ただし，得られた文字列はボー文字列でなければならない．
1文字「ボ」から始めて，ボー文字列に対してくり返し操作を行い $n$ 文字からなるボー文字列が得られたとします．異なる操作の仕方の総数を $a_n$ とするとき，$a_{10}$ を求めなさい．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
3つの半円が図のように配置されています。赤い線分の長さが$2\sqrt 2$のとき、青い線分の長さを求めてください。
なお、青い線分は2つの半円の中心間を結ぶ線分です。
※最大の半円と最小の半円の半径比は2：1。傾いた半円は最小の半円に接する。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
2つの正方形が図のように配置されています。緑で示した角の大きさを求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
ただし、解答は度数法で、「°」や「度」といった単位を付けずに0以上360未満の数を解答してください。
【補助線主体の図形問題 #104】
今週の図形問題です。2円と共通外接線というありがちな構図ですが、そこに長方形まで参上してしまいました。どうぞうまいこと処理してやってください。
解答形式
${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
問題文
正方形に図のように線を引きました。外側の正方形の一辺が10のとき、青で示した部分の面積を求めてください。
解答形式
解答は自然数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を半角数字で解答してください。
問題文
図の条件において、$x$ の長さを求めてください。
なお、図中オレンジの点は直角三角形の内心です。
解答形式
解答は $x=\sqrt a$ となります。$a$ を半角数字で解答してください。