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1024 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2023年3月19日9:01 正解数: 0 / 解答数: 14 ギブアップ数: 0

問題文

$nを2以上の整数とする。n!を,n^3-nで割った余りと,n^nで割った余りが等しくなるnを全て求めよ。$

解答形式

$半角数字でnの値が小さい順に一行ずつ解答してください。$
$(例)n=2,3,4となったとき$
2
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解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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これらから$3$枚を同時に選び、それらに書かれていた数を$a,b,c$とし、$ab+bc+ca$が$p$の倍数となる確率を求めよ。

解答形式

半角英数字で分子を一行目に、分母を二行目に展開して完全に約分された形で回答してください。
(例)$\frac{p}{p^2-4}$と回答する場合
p
p^2-4
9/1追記解説を公開しました。

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$p^{2}q^{3}+r^{2}=s^{4}$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ は $n$ 組あり,それぞれの組について $S=p+q+r+s$ を求めると,$S$ の総積は $N$ である.
$n$ および $N$ の値を求めよ.

解答形式

一行目に $n$ の値を,二行目に $N$ の値を,それぞれ半角数字で解答してください.

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数列 $\{a_n \}$ $(n=1,2,...)$ が漸化式:

$$
a_1=2, \ \displaystyle a_{n+1}=\frac{5a_n+3\sqrt{a_n^2-4\ }}{4}\ \ \ (n=1,2,\ldots)
$$

を満たすとき、$\displaystyle a_7=\frac{\fbox{アイウエ}}{\fbox{オカ}}$ である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオカ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。

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問題文

$x$の4次方程式
$$
x^{4}-5x^{3}-2(n+7)x^{2}+5nx+n^{2}=0
$$が異なる4つの整数解をもつとき、整数$n$の値を求めよ。

解答形式

半角数学で解答してください。
また、$n$の値が2つ以上ある場合
改行して小さい順に並べてください。

(例) $n= -5 , -4$ のとき
-5
-4

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【補助線主体の図形問題 #099】
 今週の図形問題は、通算99問目ということで正九角形を取り上げてみました。タネがわかれば余裕で暗算処理可能です。まずは紙&筆記具を使わずに頭の中で補助線を思い浮かべながら挑戦してみてください。

解答形式

${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
(例) $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$  $\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

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【補助線主体の図形問題 #093】
 今週の図形問題は傍接円がテーマで、傍接円を4つも登場させてしまいました。補助線を頼りに傍接円だらけの図形をねじ伏せてください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

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解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
\def\myang#1{\angle \mathrm{#1}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

  1. 全体の方針
  2. 補助線の方針
  3. 補助線を活かす視点をぼんやりと
  4. ヒント3の続き

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解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

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$1,2...nの数字を次の条件を満たすように一列に並べる方法の数をa_nとする。$
$条件:k(k=1,2,...n-1)について右隣の数がk+1でない。$
$このとき、a_7を求めよ。$

解答形式

半角数字で回答してください。
4/19追記この問題は、改善点があるので、工事予定です。

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解答形式

半角数字で解答してください。

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問題文

$x,y$を整数とする。不定方程式$x^7+17y=3$の解$x$をすべて求めよ。

解答形式

答えは、$n$を整数とし、
$x=[ab]n+[cd]$
($a,b,c,d$は一桁の自然数)
という形をしています。$a,b,c,d$の値を求め、$abcd$(4桁の自然数)を入力してください。

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正$n$角形の対角線の本数が素数になるような自然数$n$を全て求めてください。

解答形式

$n$としてあり得る数を半角で小さい順に1列に1つずつ縦に解答してください。
例:2,3と答えたい時
2
3
と解答してください。