昔作った漸化式

問題文

$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $D$ とすると，$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました．また，辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています．$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき，線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$$
\sum_{k=1}^{10} {}_{10}{\mathrm{C}}_{k}\cdot9^k\cdot k
$$

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

2つの正方形が図のように配置されています。緑で示した角の大きさを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。
ただし、解答は度数法で、「°」や「度」といった単位を付けずに0以上360未満の数を解答してください。

問題文

図のように配置された図形で、半円の半径が$5$、赤、青、緑の線分の長さがそれぞれ$3,X,Y$のとき、$X^2+Y^2$の値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。
ただし、OとHが一致する場合は除きます。

解答形式

∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。
$\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。

問題文

鋭角三角形ABCについて，外心をO，重心をG，垂心をH，内心をIとします．
$$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$
であるとき，$AI$の2乗を答えてください．

解答形式

答えは非負整数なので非負整数値を入力してください．

問題文

$p^{2}q^{3}+r^{2}=s^{4}$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ は $n$ 組あり，それぞれの組について $S=p+q+r+s$ を求めると，$S$ の総積は $N$ である．
$n$ および $N$ の値を求めよ．

解答形式

一行目に $n$ の値を，二行目に $N$ の値を，それぞれ半角数字で解答してください．

問題文

半円が内接する長方形に、図のように線を引きました。赤と青で示した線分の長さがそれぞれ3,4で、ピンクで示した線分の長さが等しいとき、緑の線分の長さを求めてください。

解答形式

$x=\sqrt{\fbox{アイ}}$です。文字列 アイ を解答してください。

問題文

内接四角形ABCDとその対角線の交点Mについて、図のような条件が与えられたとき、線分ACの長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題

$(1)$　集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか．
$(2)$　$3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．

解答形式

命題は真なら $1$，偽なら $0$ として，$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

問題文

図の条件の下で、$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$ の値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

図のように3つの正方形が配置されています。3つの線分の長さが図のように与えられたとき、緑の六角形の面積を求めてください。

解答形式

面積は、
$$
\fbox{アイ}+\frac{\fbox{ウエ}\sqrt{\fbox{オカ}}}{\fbox{キ}}
$$
となります。$\fbox ア～\fbox キ$には0以上9以下の整数が入ります。文字列「アイウエオカキ」を解答してください（「」は不要）。ただし、根号の中身や分数は最も簡単な形にしてください。

例$$
面積S=17+\frac{22\sqrt{52}}{8}\rightarrow 17+\frac{11\sqrt{13}}{2}\rightarrow 1711132 と解答
$$