√2024の循環連分数

問題文

$n,m \ (m\geq n)$を正整数の定数とし、多項式$f(x)$を$f(x)=x^m$で定めます。
$f(x)$を$(x-2)^n$で割った商$Q(x)$について、$Q(2)=40$が成立しました。

$(n,m)$の組としてあり得るもの全てについて、$nm$の総和を求めてください。

解答形式

正整数値を半角で入力してください。

${}$　西暦2024年問題第6弾です。いよいよ整数問題のお出ましとなりました。ある程度は手を動かす必要がありますが、あることに気づけば調べる候補をぐっと減らすことができます。約数の個数を求めるのが面倒な方はWolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com なども併用して構いません。

解答形式

${}$　解答は求める$n$の最小値をそのまま入力してください。
（例）$n=2106$ → $\color{blue}{2106}$

${}$　西暦2024年問題第2弾です。第1弾に引き続き虫食算で、今回は割り算にしてみました。数学的手法（約数や倍数、偶奇性や剰余、不等式による絞り込み、などなど）を適宜用いることで面倒な場合分けや仮置きを軽減できるよう仕込んでいるのは変わりません。パズル的に解くのもよし、数学的にゴリゴリ解くのもよし、どうぞお好きなようにお楽しみください！

解答形式

${}$　解答は2行目を「被除数÷除数」の形で入力してください。
（例） $2024 \div 102 = 19$ 余り $86$ → $\color{blue}{2024 \text{÷} 102}$
　入力を一意に定めるための処置です。数字は半角で、「÷」の演算記号はTeX記法（\div）でも、絵文字や環境依存文字でもなく、全角記号の「÷」でお願いします。空白（スペース）も入れる必要はありません。

問題文

$2^{p}+7^{q}=r^{p+q-r}$を満たす素数の組$(p,q,r)$をすべて求めよ．

解答形式

文字列$pqr$を，半角数字で解答してください．解が複数ある場合は，
(1)　$p$の値が小さい順
(2)　$p$の値が等しい組は，$q$の値が小さい順
(3)　$p,q$の値がともに等しい組は，$r$の値が小さい順
に，1行に1つずつ書いてください．

追記

どなたか素数に限らない整数解を全て求めてくださるとありがたいです．

問題文

鋭角三角形ABCについて，外心をO，重心をG，垂心をH，内心をIとします．
$$AO=\dfrac{325}{24}, AH=\dfrac{125}{12}, AG=\sqrt{145}$$
であるとき，$AI$の2乗を答えてください．

解答形式

答えは非負整数なので非負整数値を入力してください．

問題文

四角形ABCDは正方形で、点E,F,G,Hは辺の中点です。四角形ABCDの面積が54㎠のとき、青い部分の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

内接四角形ABCDとその対角線の交点Mについて、図のような条件が与えられたとき、線分ACの長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

半円が内接する長方形に、図のように線を引きました。赤と青で示した線分の長さがそれぞれ3,4で、ピンクで示した線分の長さが等しいとき、緑の線分の長さを求めてください。

解答形式

$x=\sqrt{\fbox{アイ}}$です。文字列 アイ を解答してください。

【補助線主体の図形問題 #102】
　今週の図形問題です。ある素朴な性質を元に作問しました。手慣れた方は暗算で行けるかもしれません。それぞれお好きなようにお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

下図は、2つの正方形と円を組み合わせた図形です。点（●）は小さい正方形の辺を4等分する点で、円は大きい正方形に内接しています。大きい正方形の面積が60㎠のとき、小さい正方形の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

【補助線主体の図形問題 #126】
　今週の図形問題です。隙あらば暗算で処理できる程度の問題を好んで出題しているのですが、今回は暗算処理は厳しいかもしれません。紙＆ペンをご用意の上、挑戦していただければと思います。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

2つの三角形ABCとQCRが図のように配置されています。各点が画像に記した条件を満たすとき、赤い三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。