数学の問題一覧
問題文
正七角形2つが図のように配置されています。
赤色の線分の長さが7のとき、青色の線分の長さを求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
【補助線主体の図形問題 #066】
今週の図形問題はいつもと趣向を少し変えて計算量がいつもより多めです。とはいえ、補助線が活躍するのはいつも通りです。紙＆ペンをご用意の上、図形と戯れてみてください。
解答形式
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
問題文
$x$ についての方程式 $xe^{2\sqrt{x}}=9(\log{3})^2$ の実数解を求めよ。
解答形式
解をすべて答えてください。値の小さい順に1行目から入力してください。
なお，解答にあたって，特殊な数式は次のように入力してください。
対数：$\log_n{m}$ = \log_{n}{m}, $\log{m}$ = \log{m}
指数（$\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください）：$n^{m}$ = n^{m}
分数：$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}
問題文
図の条件の下で、青で示した線分の長さ $x$ を求めてください。
なお、緑で示した２つの角の大きさは等しく、ピンクで示した点は三角形の重心です。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
実数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n = 1, 2, \cdots 2024}$ が以下を満たしています.
・ $a_0 = 0$
・ $0 \leq a_n \leq n+1$
・ $a_{2024} = 2025$
このとき,
$$\sum_{n = 1}^{2024} \sqrt{{a_{n-1}}^2 + {a_{n}}^2 - a_{n-1}a_n - 2na_{n-1} + na_n + n^2}$$
には最小値が存在するため, 最小値を取るときの $a_{1000}$ の値を求めて下さい. ($a_{1000}$ の値は一意に定まります.)
解答形式
答えは, 互いに素な正整数 $a, b$ によって $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.
問題文
図の条件の下で、線分 $OO'$ の長さを求めてください。
解答形式
$OO'^2$ は正整数になるので、その値を半角数字で解答してください。
2つの正三角形と2つの正方形
2つの同じ大きさの正三角形と2つの正方形があります。
色が付いている部分と大きな正方形の比を答えましょう。
解答形式
分数で答えてください。
問題文
図の条件の下で、緑で示した三角形の面積を求めてください。
なお、点 $I$ は直角三角形の内心です。
解答形式
解答は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので、$a+b$ の値を半角数字で解答してください。
問題文
半円弧を組み合わせた以下の図について、緑で示した部分の面積を求めてください。
大きい半円の直径は6、小さい半円弧の直径は3であり、大きい半円の弧は灰色の点によって6等分されています。
解答形式
解答は $\dfrac{a}{b}\pi$ となるので、$a+b$ を解答してください。
ただし、$a,b$ は互いに素な正整数です。