数学の問題一覧
問題文
以下の条件１を満たす正整数列 $a_n\ (n \ge 1)$ を考える.
条件１：
$\cdot \ n\ge 1$ なる正整数 $n$ において, $a_{n+1}$ は $a_{n}$ 以下の正整数であって $a_{n}$ と互いに素なものの個数に等しい.
適切に $a_1$ を決めると以下の条件２が成立しました. このときの $a_1$ としてありうる値の個数を解答してください.
条件２：
$\cdot$ $a_1$ の任意の素因数は十進数表記で $1$ 桁である.
$\cdot$ 任意の $i,j \ge N$ なる整数 $(i,j)$ の組について, $a_i=a_j$ となる最小の $N$ が $N=13$ である.
解答形式
解答を非負整数で入力してください．
問題文
半円弧を組み合わせた以下の図について、緑で示した部分の面積を求めてください。
大きい半円の直径は6、小さい半円弧の直径は3であり、大きい半円の弧は灰色の点によって6等分されています。
解答形式
解答は $\dfrac{a}{b}\pi$ となるので、$a+b$ を解答してください。
ただし、$a,b$ は互いに素な正整数です。
高さが100cmで底面積が600cm²の直方体の形をした水槽がある。この水槽は通常の水槽とは異なり、水槽の底面を上下移動させることができる。（底面が移動するとそれに伴って水も移動するため、水面も移動する。）
まず、底面を1番下にした状態で毎分500cm³で40分間、水を入れた。
次に底面を上にXcm移動させた。
そして底面が上に移動した状態で毎分600cm³で60分間、水を入れた。
そして底面を上にXcm移動させると、4000 cm³ だけ水が溢れ出た。
この時、Xの値を求めなさい。ただし分数になる場合は以下のように答えなさい。
（例 1/2の場合は12 54/73の場合は5473 22/23の場合は2223 と答える ）
問題文
$\triangle ABC$の辺$AB$上に点$D$が，辺$AC$上に点$E$がそれぞれある．また，辺$BC$上に2点$P,Q$があり，4点$B,P,Q,C$はこの順に並んでいる．
$\triangle BDP$の外接円の$B$における接線と，$\triangle CEQ$の外接円の$C$における接線とが点$F$で交わっている．
$AD=2,DB=4,AE=5,EC=3,BP=1,PQ=10,QC=1$のとき，$AF=\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$である．ただし，$a,b,c$はいずれも正の整数であり，$a,c$は互いに素である．また，根号の内部は十分簡単になっている．
$a+b+c$の値を求めよ．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します．
- $a_0=a_{20000}=0$ ．
- $k=0,1,…,19999$ について $|a_{k+1}-a_k|=1$ ．
また，階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます．
- 以下の条件を全て満たす $1001$ 個の整数の組 $(x_0,x_1,…,x_{1000})$ の個数．
$\quad$ ・ $k=0,1,…1000$ について $x_k$ は $0$ 以上 $20000$ 以下の 偶数 ．
$\quad$ ・ $k=0,1,…999$ について $x_k\lt x_{k+1}$ ．
$\quad$ ・ $a_{x_{1000}}=0$ ．
階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め，その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．
解答形式
答えを入力してください．
問題文
半円が内接する長方形に、図のように線を引きました。赤と青で示した線分の長さがそれぞれ3,4で、ピンクで示した線分の長さが等しいとき、緑の線分の長さを求めてください。
解答形式
$x=\sqrt{\fbox{アイ}}$です。文字列 アイ を解答してください。
問題文
直角二等辺三角形と、その頂角を通る円が図のように配置されています。青で示した線分の長さを求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
図のように長方形や直角三角形の内接円が配置されています。青で示した角の角度を求めてください。
解答形式
度数法で求め、半角数字で0以上360未満の整数を解答してください。
※度や°などの単位は付けないでください。
問題文
2つの正方形が図のように配置されています。赤と青の面積の差が$11$のとき、紫と橙の面積の差を求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
一次関数が(p＋q)を満たすとき
y=1/2x＋(p＋q)がx＋(p＋q)＝１２を満たすとき、xの値を求めなさい。ただし、xは自然数であるものとする。
解答形式
数字は全角で入力してください。
