数学の問題一覧
問題文
${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ を $2\times 2$ 正則行列全体の集合とする．単位行列を $E$ とし，${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ の部分集合 $S$ を
\begin{equation}
S=\{ A\in {\rm GL}(2,\mathbb{R})\mid \forall X\in {\rm GL}(2,\mathbb{R}), AX=XA\}
\end{equation}
で定めるとき
\begin{equation}
S=\{ rE \mid r\in \mathbb{R}, r\neq 0\}
\end{equation}
であることを証明せよ．
問題文
下式を満たす自然数(a,b,c)の組をすべて求めよ。
$$
2^{a}+3^{b}=5^{c}
$$
出題者も絞り込みがうまくできず難航していますのでできましたら解法もセットでご教授ください。
解答形式
(a,b,c)の形で答えてください。
問題文
1
下の行列$A$に対して$f\colon \mathbb{R}^{6} \to \mathbb{R}$を$f(x)={}^{t}xAx$で定義する。${}^{t}x$は$x$の転置である。
$f$が原点で最大最小をとらない$a$の範囲を求めよ。
$$
A=\begin{pmatrix}
a& -3 & -a & 2 & 9 & a\\
-3 & -3 & 1 & 0 & 5 & 1\\
-a& 1 & 4 & 5 & 4 & 7\\
2& 0 & 5 & 1 & a & 1\\
9& 5& 4 & a & -4 & -4\\
a& 1 & 7 & 1 & -4 & a\\
\end{pmatrix}
$$
2
$$
X=\begin{pmatrix}
1& 6 & 0 & -2 & 1 & 0\\
2 & b& 2 & 1 & 4& 3\\
-1& 9 & -3 & 7 & 1 & -1\\
2& -1 & 0 & 1 & 6 & 0\\
-1& -4 & -3 & 2 & b & 2\\
-7& -1 & 1 & -1 & 9 & -3
\end{pmatrix}
$$
が実対角化可能な$b$の範囲を求めよ。
ヒント1は1のヒント、ヒント2-4が2のヒントです。
解答形式
$\displaystyle\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}<a<\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$、$\displaystyle\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}<b<\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}$
である。$\fbox{ア}$から順に1行ごとに答えよ。
ただし、任意の$a$で成立しないときは
$$
\fbox{ア}=00,\fbox{イ}=00,\fbox{ウ}=00,\fbox{エ}=00
$$
とし、任意の$a$で成立するときは
$$
\fbox{ア}=000,\fbox{イ}=000,\fbox{ウ}=000,\fbox{エ}=000
$$
のように答えてください。$b$も同様です。
$$
初項１、公差３における
$$
$$
{b}_{n}=3n+{a}_{n}
$$
$$
{c}_{n}={b}_{n}-2n
$$
$$
における、次の問に答えて下さい。
$$
$$
（ⅰ）一般項{{a}_{n}}を示して下さい。
$$
$$
(1)n-2
(2)2n-2
(3)3n-2
(4)4n-2
$$
$$
（ⅱ）一般項{{b}_{n}}をｎの式で示して下さい。
$$
$$
(1)3n-2
(2)4n-2
(3)5n-3
(4)6n-4
$$
$$
（ⅲ）一般項{{c}_{n}}をｎの式で示して下さい。
$$
$$
(1)2n-2(2)3n-3(3)4n-3(4)4n-4
$$
$$
（ⅳ）{{b}_{n}}と{{c}_{n}}の積における最小値、ｎを示して下さい。
$$
$$
(1)-\frac{1}{2} ,\frac{2}{5}
(2)-\frac{2}{3},\frac{3}{7}
(3)-\frac{2}{3},\frac{3}{5}
(4)-\frac{1}{3},\frac{5}{6}
$$
問題文
直角三角形Nの頂点A,B,Cをそれぞれ中心とする円Cp,Cq,Crがあり、それぞれ半径はRp,Rq,Rr(Rp<Rq,Rp<Rr)
直角三角形Nの周の長さを2ab(a,bは互いに素)とします。Rp,Rq,Rr,a,bは自然数。円Cpと円Cq,円Cqと円Cr,円Crと円Cpはそれぞれ接しています。
a<b<2aのとき、Rpをa,bを用いて表してください。
解答形式
半角英数で答えてください。
$$
恒等式\frac{3ax-b}{(x-1)(2x+1)}=\frac{{cos60゜}+{log_24^a}}{x-1}+\frac{{sin45゜}+{log_327^b}}{2x+1}\\について、a,bについて求めて下さい。
$$
$$
(1)\begin{cases}a=\frac{2}{5}\\b=-\frac{1}{4}\end{cases}
(2)\begin{cases}a=\frac{4}{6}\\b=-\frac{2}{5}\end{cases}
(3)\begin{cases}a=\frac{6}{7}\\b=-\frac{3}{7}\end{cases}
(4)\begin{cases}a=\frac{7}{8}\\b=-\frac{5}{9}\end{cases}
$$
問題文
問題に不備がある可能性があるため、他の問題を先に解くことをおすすめします。申し訳ございません。ただいま確認作業を行っております。（18:31）
グラフとは，頂点集合とそのうち $2$ 点を結ぶ辺の集合のことである。今回は単純グラフ（同じ頂点を結ぶ $2$ 辺が存在しない場合）のみを考える。
$2n$ 頂点で三角形が存在しない，すなわちどの頂点集合 ${a, b, c}$ を選んでもすべてが辺によって結ばれていることはないようなグラフの辺数の最大値を求めよう。
まず，各頂点 $i\;(i=1,2,\cdots, 2n)$ に $\displaystyle{\sum_{i=1}^{2n}}v_i=1$ となるように非負実数 $v_i$ を割り当てる。この制約のもとで，
$$
S:=\sum_{\substack{\{i,j\}が辺で \\ 結ばれている}} v_iv_j
$$
を最大化することを考える（編注：和は辺で結ばれている頂点 $i, j\;(1\leq i < j\leq 2n)$ すべてにわたることを意味する）。
$$
X_x:=\sum_{\substack{\{x,i\}が辺で \\ 結ばれている}} v_i
$$
とする。次のような操作をくり返す。
操作
辺によって結ばれていない $2$ 頂点 $i,j$ について，$\fbox{ア}$ ならばある正の実数 $\varepsilon$ を選んで $v_i \mapsto v_i+\varepsilon$，$v_j\mapsto v_j-\varepsilon$ という置き換えを行う。ただし $\varepsilon$ は置き換え後も $v_1+\cdots+v_{2n}=1$ かつ $v_1, \cdots, v_{2n}\geq 0$ が成り立つようにとる。
操作をくり返すと，$(X_i+\varepsilon)v_i+(X_j-\varepsilon)v_j$ と $X_iv_i+X_jv_j$ の値を比較することで $S$ は必ず $\fbox{イ}$ ことが分かる。これ以上操作を行っても $S$ の値が変化しないような状態に達したときを考えると，$\fbox{ウ}$ となるような任意の $2$ 点 $i,j$ どうしは辺で結ばれている。グラフが三角形を含まないことから，このとき
$$
S\leq \fbox{エ}
$$
である（編注：等号が成立するグラフが存在するように選ぶこと）。はじめ，すべての $v_i$ が等しかったとすると，操作を行う前は
$$
S=\frac{（辺の本数）}{\fbox{オ}}
$$
なので，（辺の本数）$\leq \fbox{カ}$ が分かる。
等号は $2n$ 頂点が $n$ 頂点の組 $2$ つに分かれていて，異なる組に属している場合のみ辺が存在するようなグラフで成り立つ。よって最大の辺数は $\fbox{カ}$ である。
$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ に最もよく当てはまるものを，次の選択肢の中からそれぞれ選びなさい。
選択肢
$\fbox{ア}$ の選択肢：
1$\;v_i\leq v_j$ 2$\;v_i\geq v_j$ 3$\;X_i\geq X_j$ 4$\;X_i\geq X_j$
$\fbox{イ}$ の選択肢：
1 変化しないか増加する 2 変化しないか減少する
$\fbox{ウ}$ の選択肢：
1$\;v_i>0, v_j>0$ 2$\;v_i=0, v_j=0$ 3$\;X_i>0, X_j>0$ 4$\;X_i=0, X_j=0$
$\fbox{エ}$ の選択肢：
1$\;n^2$ 2$\;\cfrac{n^2}{2}$ 3$\;\cfrac{n^2}{4}$ 4$\;1$ 5$\;\cfrac{1}{2}$ 6$\;\cfrac{1}{4}$
$\fbox{オ}$ の選択肢：
1$\;n^2$ 2$\;2n^2$ 3$\;4n^2$ 4$\;1$ 5$\;4$
$\fbox{カ}$ の選択肢：
1$\;n^2$ 2$\;\cfrac{n^2}{2}$ 3$\;2n^2$ 4$\;n^4$
解答形式
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ には，半角数字 1 - 6 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{カ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。
