数学の問題一覧

問題文

これまでのあらすじ (読まなくてもこの問題を解くことが出来ます)
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/12
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/15
勇者・しおしおの飛ばされた異世界では、将棋に草将と言う駒が追加されていました。
この駒は、以下に示された $6$ マスのいずれかに $1$ 手で移動できます。

この異世界での将棋は盤面がデカすぎてクソゲーだったので、しおしおは別の遊びを考えました。

白と黒の $2$ 色で塗られた $9×9$ の盤面について、良い盤面を以下のように定義します。

最下段の黒いマスから上手く選んで草将を置くと黒いマスの上だけを草将が移動して最上段の黒いマスのどれかに行く事が出来る。

以下に具体例を示します。
①の盤面では右から三列目に草将を置き矢印に沿って草将を移動させることで左から二列目の最上段の黒マスに到達できるので良い盤面です。
②の盤面も矢印のように草将を動かせるので同様に良い盤面です。
③の盤面ではどのようにしても最上段の黒いマスにたどり着けないので良い盤面ではありません。
④の盤面はそもそも最下段に黒いマスが無いので良い盤面ではありません。
⑤の盤面も最上段に黒いマスが無いので良い盤面ではありません。

全てのマスが白い盤面に対して、白マスをランダムに $1$ つ選んで黒マスに変更するという操作を良い盤面になるまで繰り返す時、最終的な盤面の黒マスの数の期待値を求めてください。ただし、答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので$a+b$を解答してください。

解答形式

半角で正整数を解答してください

問題文

正整数 $n$ に対して $n^{10n}$ を $31$ で割ったあまりを $f(n)$ としたとき，
$$\sum_{k=1}^{12000} f(k)$$
の値を求めてください．

解答形式

半角英数字で回答してください．

【補助線主体の図形問題 #062】
　今週の図形問題は経験の多寡で難易度の感じられ方が大きく変わるかもしれません。自信のある方は暗算で、そうでない方も紙＆ペンを使いながらじっくり補助線を引きつつお楽しみください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

下図で、六角形ABCDEFは正六角形、点L,H,G,I,K,Jは六角形ABCDEFの辺の中点です。赤い部分の面積が72㎠のとき、青い部分の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

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誤りがあったため、解答を修正しました。迷惑をおかけして申し訳ありません。

【補助線主体の図形問題 #016】
　先週は出題を休んでしまいましたが、今週はしっかり出題します。今回は求角問題を用意しました。暗算解法を仕込んであるのはいつも通り。ぜひぜひ補助線の魅力を感じてください！

解答形式

${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体の方針をぼんやりと
2. ヒント1の続き
3. ヒント2の続き

問題文

正整数$n$の値を無作為に定めるとき、$\sqrt{n}^\sqrt{n}$が有理数となる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

問題文

自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します.
$$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記
=8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました
大変申し訳ありません

問題文

AB=36, AC=24の△ABCがあり線分ABを2:1に内分する点D, 線分ACを3:1に内分する点EをとりBEとCDの交点をPとするとAP=14であった.
このときBCの長さの2乗を求めよ。

解答形式

例）半角で解答して下さい。

【補助線主体の図形問題 #117】
　今週の図形問題です。少しずつ発見を積み重ねていく、やや重めの問題となっています。どうぞじっくりと取り組んでやってください。

お詫びと訂正

${}$　投稿時点から翌日10月2日(月)午前1時過ぎまで、$\mathrm{AB} > \mathrm{AC}$となるべきところが$\mathrm{AB} > \mathrm{BC}$となっていました。お詫びして訂正いたします。現在は修正済みの画像となっています。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #124】
　年始は西暦を織り込んだ数学・パズルの問題をお送りしてきましたが、また日曜夜通例の「補助線主体の図形問題」に戻ります。変わらぬご愛顧ををどうかよろしくお願いします。
　今回は、補助線を使えば計算量減を図れ、補助線を使わないと面倒な計算を強いられるという問題を用意しました。補助線解法を期待しているのですが、力技で解くのもアリです。お好きなようにお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし，十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします．
相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき，$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

一辺の長さが $12$ の正方形 $ABCE$ の外部に点 $D$ を、三角形 $CDE$ が正三角形になるようにとります。
正方形 $ABCE$ の外接円と直線 $DE$ の交点のうち $E$ でない方を $F$ とするとき、$AF^2$ の値を解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。