pomodor_ap

$2$ 番目に小さい正の約数と $3$ 番目に小さい正の約数の和が $12$ であるような，正の約数が $3$ つ以上ある正の整数のうち，$100$ 以下のものの総和を求めよ．

問題文

$1$ の位が $0,1,2,…,9$ であるような正の約数をすべて持つ最小の正の整数を求めよ．

各位の和が $14$ であるような $2$ 番目に小さい正の整数を求めよ．

$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある．いま，この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし，$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき，$M^N$ を解答せよ．

問題文

$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり，任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない（どの桁も $10$ を超えない）ようなものについて，その要素数の最大値を求めよ．

問題文

$BC=18$ かつ面積が $162$ なる三角形 $ABC$ について，重心を $G$，$G$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $P$ とすると，三角形 $PGC$ の面積が $30$ となりました．$AC$ の長さの二乗を求めてください．

問題

$a,b$ を実数とする．$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ は $f(1/2)\cdot f(1/3)=4$ を満たしている．$f(2)+f(3)$ としてありうる最小の正の整数値を求めよ．

問題文

$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり，任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない（どの桁も $10$ を超えない）ようなものについて，その要素数の最大値を求めよ．

問題文

正の整数 $n$ について，$f(n)$ を $_n\mathrm{C}_k$ が奇数であるような，$0\leq k\leq n$ を満たす整数 $k$ の個数とする．$$f(a)^2+4f(b)=f(c)^3+4$$ かつ $a+b+c=2047$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ はいくつ存在するか？

問題文

任意の正の整数 $m, n(m\leq n)$ について $\displaystyle |\sum_{i=m}^{n} a_i| \leq 2$
が成り立つような整数列 $a_i (i\geq 1)$ について，$(a_1, a_2, …, a_{100})$ としてありうる組は $N$ 個存在する．$N$ を素数 $97$ で割った余りを求めよ．

訂正: 「非負整数列」と誤りがありましたが，正しくは整数列です．申し訳ありません．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について線分 $AC$ 上に点 $P$ を取り，線分 $PC$ の垂直二等分線と線分
$BC$ が交わったのでその点を $D$ とする．線分 $AB$ 上の点 $E$ が $ED\parallel AC$ を満たしている．三角形 $PED$ の外接円と線分 $BC$ が $D$ でない点 $F$ で交わっており，$$FA=FC=7,　BD=4,　PD=5$$ が成り立った．このとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

素数の組 $(p, q, r, s, t)$ について
$$\dfrac{p^4 + q^4 + r^4 + s^4 + t^4 + 340}{8}$$ としてありうる最小の素数値を求めよ．