poinsettia

問題文

$p^2q+16r=2s^2$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ すべてについて，$pqrs$ の総和を解答せよ．

$2$ 番目に小さい正の約数と $3$ 番目に小さい正の約数の和が $12$ であるような，正の約数が $3$ つ以上ある正の整数のうち，$100$ 以下のものの総和を求めよ．

問題文

$1$ の位が $0,1,2,…,9$ であるような正の約数をすべて持つ最小の正の整数を求めよ．

各位の和が $14$ であるような $2$ 番目に小さい正の整数を求めよ．

問題文

$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり，任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない（どの桁も $10$ を超えない）ようなものについて，その要素数の最大値を求めよ．

$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある．いま，この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし，$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき，$M^N$ を解答せよ．

問題文

以下が成り立つ正の整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2)$ のうち，$a_1$ が最小であるようなものの中で，$b_2$ が最も小さいようなものは一意に定まるので，それについて $a_1a_2a_3b_1b_2$ を解答せよ．

• $a_1\geq a_2\geq a_3, b_1\geq b_2$
• $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2$
• $b_1!b_2!$ は $a_1!a_2!a_3!$ で割り切れる．
• $a_1 = b_1 + 4$

問題文

各位の和が奇数であるような，$11$ で割り切れる最小の正の整数を求めよ．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，直線 $AH$ と $BC$，$BH$ と $AC$ の交点をそれぞれ $D,E$ とし，線分 $BC$ の中点を $M$ とする．四角形 $BDHP$ が長方形となるように点 $P$ を取ると $\angle APM=90^{\circ}, AE=3, EC=8$ が成立するとき，線分 $AD$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

$3\times 1000$ の $2$ つのマス目 $A,B$ があり，これらの $6000$ マスのうち $0$ 個以上に印をつける．印の付け方であり，以下を満たす方法は $N$ 通り存在する．$N$ が $2$ で割り切れる回数を解答せよ．

• $A$ または $B$ から取り出せる $2\times 2$ の部分マス目（連結成分）であり，印のついたマスの個数が $1$ または $3$ であるようなものを $M$ とすると，$M\geq 1998$ である．

問題文

$1\leq a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5\leq 100$ をみたす整数の組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ すべてについて，次の値の総和を求めよ．
$$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\frac{a_4}{4}+\frac{a_5}{5}$$

問題文

正の整数について定義され（正とは限らない）整数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の整数 $m,n$ について
$$f(mn)=f(m)^2+f(m)f(n)-f(1)$$
を満たすものについて，$(f(1), f(2), …, f(100))$ としてありうる組はいくつ存在するか？