poinsettia

問題文

$p^2q+16r=2s^2$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ すべてについて，$pqrs$ の総和を解答せよ．

$2$ 番目に小さい正の約数と $3$ 番目に小さい正の約数の和が $12$ であるような，正の約数が $3$ つ以上ある正の整数のうち，$100$ 以下のものの総和を求めよ．

問題文

$1$ の位が $0,1,2,…,9$ であるような正の約数をすべて持つ最小の正の整数を求めよ．

問題文

$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり，任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない（どの桁も $10$ を超えない）ようなものについて，その要素数の最大値を求めよ．

各位の和が $14$ であるような $2$ 番目に小さい正の整数を求めよ．

$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある．いま，この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし，$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき，$M^N$ を解答せよ．

$AB=11, AC=18$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，線分 $AD$ が外接円の直径をなすような点 $D$ を取り，線分 $BC$ の中点を $M$，$D$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $E$ とする．三角形 $AME$ の外接円が線分 $AB$ に接するとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

$AB<AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし，直線 $EF$ と $BC$ の交点を $X$ とすると，$XA=XE$ が成立した．線分 $AX$ の中点を $M$ とし，三角形 $AHC$ の外接円と三角形 $MXD$ の外接円が $2$ 点で交わったのでそれらを $Y,Z$ とすると，$A,Y,H,Z,C$ はこの順に同一円周上に並んだ．$XY=XZ$ のとき，$\dfrac{AB}{BC}$ の二乗は正の整数 $a,b,c$ ($a$ と $c$ は互いに素) を用いて $\dfrac{a-\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$abc$ を解答せよ．

$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ について，外接円の弧 $BAC$ の中点を $M$，内接円を $\omega$，$\omega$ と線分 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$，直線 $ME,MF$ と $\omega$ が再び交わる点をそれぞれ $X,Y$，線分 $XY$ と $EF$ が交わったのでその点を $Z$ とすると，直線 $EF$ が $\angle YEB$ を二等分し，直線 $ME$ と $DZ$ が平行であった．$\dfrac{BC}{EX}$ の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

三角形 $ABC$ について，外接円と $\angle A$ の二等分線が再び交わる点を $M$，線分 $AM$ と $BC$ の交点を $D$，$\angle AMC$ の二等分線と線分 $BC,AC$ の交点をそれぞれ $E,F$ とすると，$DE=9, AF=16, AB=20$ が成立した．線分 $BC$ の長さを求めよ．

問題文

$1+2+3+…+20$ 個の白い円を下の図（図では $1+2+3+4$ の場合を表している）のように正三角形状に並べる．次の条件を全て満たすように，いくつかの円を黒く塗る．ただし，段とは水平方向に並ぶ円の集合を指す．

• どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．
• 図全体を $120^{\circ}$ 時計回りに回転させた時，どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．
• 図全体を $120^{\circ}$ 反時計回りに回転させた時，どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．

上から $k$ 段目 $(1\leq k\leq 20)$ 段目には $k$ 個の円がある．条件を全て満たす塗り方のうち，黒い円の個数が最も少なくなるような塗り方は何通りあるか．ただし，回転や裏返しで一致する塗り方も異なるものとして考えるものとする．

問題文

$x^{100}+2x^{80}+4x^{60}+4x^{40}+2x^{20}+1=0$ の複素数解を $a_1, a_2, …, a_{100}$ とするとき，$$\sum_{k=1}^{100} \dfrac{a_k^3+2a_k^2+3a_k+4}{a_k^3+a_k^2+a_k+1}$$ の値を求めてください．