$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，内心を $I$，外心を $O$，$I$ から線分 $AC$ に下ろした垂線の足を $P$，線分 $BC$ の中点を $M$ とすると線分 $AI$ を直径とする円は線分 $MP$ に接しました．半直線 $MI$ と半直線 $CA$ が交わったのでその点を $D$ とし，直線 $BI$ と三角形 $ABC$ の外接円の $B$ でない交点を $N$ とします．三角形 $BDN$ の外接円と線分 $BC, CA$ (端点を除く) の交点が存在したのでそれぞれ $E,F$ とします．$EF=2, PM=5$ のとき，線分 $IO$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
$AB<AC$ なる鋭角三角形について，垂心を $H$、外心を $O$，線分 $BC$ の中点を $M$ とし，三角形 $AOM$ の外接円と半直線 $AB$，線分 $AC$ がいずれも $A$ でない点で交わったのでその交点をそれぞれ $D,E$ とします．線分 $DE$ と $BC$ の交点を $F$ とすると，$OH=4, HF=5, FM=6$ が成立しました．このとき，線分 $AO$ の長さの二乗を解答してください．
平行四辺形 $ABCD$ について，三角形 $ABC$ の外接円と線分 $AD$ が $A$ でない点 $E$ で交わり，三角形 $DEC$ の外接円と線分 $AB$ が接しました．$AE=2, ED=5$ のとき，線分 $AB$ の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$，垂心を $H$，線分 $HB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，線分 $MN$ と三角形 $NDC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とします．$AX\perp MN, XA=2, XD=1$ のとき線分 $AC$ の長さの二乗を解答してください．
$AB=11, AC=18$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，線分 $AD$ が外接円の直径をなすような点 $D$ を取り，線分 $BC$ の中点を $M$，$D$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $E$ とする．三角形 $AME$ の外接円が線分 $AB$ に接するとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．
$AB<AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし，直線 $EF$ と $BC$ の交点を $X$ とすると，$XA=XE$ が成立した．線分 $AX$ の中点を $M$ とし，三角形 $AHC$ の外接円と三角形 $MXD$ の外接円が $2$ 点で交わったのでそれらを $Y,Z$ とすると，$A,Y,H,Z,C$ はこの順に同一円周上に並んだ．$XY=XZ$ のとき，$\dfrac{AB}{BC}$ の二乗は正の整数 $a,b,c$ ($a$ と $c$ は互いに素) を用いて $\dfrac{a-\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$abc$ を解答せよ．
$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ について，外接円の弧 $BAC$ の中点を $M$，内接円を $\omega$，$\omega$ と線分 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$，直線 $ME,MF$ と $\omega$ が再び交わる点をそれぞれ $X,Y$，線分 $XY$ と $EF$ が交わったのでその点を $Z$ とすると，直線 $EF$ が $\angle YEB$ を二等分し，直線 $ME$ と $DZ$ が平行であった．$\dfrac{BC}{EX}$ の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
問題文
すべての項が素数であるような数列 $a_1, a_2, …, a_N (a_1 \le a_2 \le … \le a_N)$ であり，$a_1^2+a_2^2+…+a_N^2=999$ を満たすもののうち，$N$ が最小のものすべてについて，$a_1+a_2+…+a_N$ の総和を解答せよ．
問題文
三角形 $ABC$ について，外接円と $\angle A$ の二等分線が再び交わる点を $M$，線分 $AM$ と $BC$ の交点を $D$，$\angle AMC$ の二等分線と線分 $BC,AC$ の交点をそれぞれ $E,F$ とすると，$DE=9, AF=16, AB=20$ が成立した．線分 $BC$ の長さを求めよ．
問題文
$1+2+3+…+20$ 個の白い円を下の図（図では $1+2+3+4$ の場合を表している）のように正三角形状に並べる．次の条件を全て満たすように，いくつかの円を黒く塗る．ただし，段とは水平方向に並ぶ円の集合を指す．
- どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．
- 図全体を $120^{\circ}$ 時計回りに回転させた時，どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．
- 図全体を $120^{\circ}$ 反時計回りに回転させた時，どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．
上から $k$ 段目 $(1\leq k\leq 20)$ 段目には $k$ 個の円がある．条件を全て満たす塗り方のうち，黒い円の個数が最も少なくなるような塗り方は何通りあるか．ただし，回転や裏返しで一致する塗り方も異なるものとして考えるものとする．
問題文
$x^{100}+2x^{80}+4x^{60}+4x^{40}+2x^{20}+1=0$ の複素数解を $a_1, a_2, …, a_{100}$ とするとき，$$\sum_{k=1}^{100} \dfrac{a_k^3+2a_k^2+3a_k+4}{a_k^3+a_k^2+a_k+1}$$ の値を求めてください．
問題文
$900$ 個の白丸が円形に並んでいる．ここから次の条件を満たすようにいくつかの丸 ($1$ つ以上) を黒く塗る方法は何通りあるか？
- 黒く塗られた丸がランダムで一つ選ばれ，また $1$ 以上 $450$ 以下の整数 $k$ がランダムで与えられる．この時，これらがどのように選ばれても，選ばれた丸から時計回りと反時計回りに $k$ 個先の丸の少なくとも一方は黒く塗られている．
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，線分 $BC$ の中点を $M$，直線 $BH$ と $AC$，$CH$ と $AB$ の交点をそれぞれ $E, F$ とし，直線 $AH$ と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $T$，直線 $TM$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $S$，直線 $BS$ と $HC$ の交点を $X$，直線 $TM$ と $AC$ の交点を $Y$ とすると，
$$BH=HE, AH=9, XY=7$$
が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．
問題文
正の整数について定義され（正とは限らない）整数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の整数 $m,n$ について
$$f(mn)=f(m)^2+f(m)f(n)-f(1)$$
を満たすものについて，$(f(1), f(2), …, f(100))$ としてありうる組はいくつ存在するか？
問題文
以下が成り立つ正の整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2)$ のうち，$a_1$ が最小であるようなものの中で，$b_2$ が最も小さいようなものは一意に定まるので，それについて $a_1a_2a_3b_1b_2$ を解答せよ．
- $a_1\geq a_2\geq a_3, b_1\geq b_2$
- $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2$
- $b_1!b_2!$ は $a_1!a_2!a_3!$ で割り切れる．
- $a_1 = b_1 + 4$
問題文
$3\times 1000$ の $2$ つのマス目 $A,B$ があり，これらの $6000$ マスのうち $0$ 個以上に印をつける．印の付け方であり，以下を満たす方法は $N$ 通り存在する．$N$ が $2$ で割り切れる回数を解答せよ．
- $A$ または $B$ から取り出せる $2\times 2$ の部分マス目（連結成分）であり，印のついたマスの個数が $1$ または $3$ であるようなものを $M$ とすると，$M\geq 1998$ である．
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，直線 $AH$ と $BC$，$BH$ と $AC$ の交点をそれぞれ $D,E$ とし，線分 $BC$ の中点を $M$ とする．四角形 $BDHP$ が長方形となるように点 $P$ を取ると $\angle APM=90^{\circ}, AE=3, EC=8$ が成立するとき，線分 $AD$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．