C

$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，内心を $I$，外心を $O$，$I$ から線分 $AC$ に下ろした垂線の足を $P$，線分 $BC$ の中点を $M$ とすると線分 $AI$ を直径とする円は線分 $MP$ に接しました．半直線 $MI$ と半直線 $CA$ が交わったのでその点を $D$ とし，直線 $BI$ と三角形 $ABC$ の外接円の $B$ でない交点を $N$ とします．三角形 $BDN$ の外接円と線分 $BC, CA$ (端点を除く) の交点が存在したのでそれぞれ $E,F$ とします．$EF=2, PM=5$ のとき，線分 $IO$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

正整数列であって以下の条件を全て満たすもの個数を $f(n)$ とします.

• 要素の総和が $n$.
• 全ての隣接する $2$ 項について $3$ で割った余りが異なる.

$f(10000)$ を $1000$ で割った余りを求めてください.ただし, 必要なら以下を用いても良いです.

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & f(n)\: \mathrm{mod} \:1000 \\
\hline \hline
9990 & 529 \\
\hline
9991 & 3\\
\hline
9992 & 811\\
\hline
9993 & 569\\
\hline
9994 & 126\\
\hline
9995 & 145\\
\hline
9996 & 341\\
\hline
9997 & 75\\
\hline
9998 & 193\\
\hline
9999 & 212\\
\hline
\end{array}
$$

平行四辺形 $ABCD$ について，三角形 $ABC$ の外接円と線分 $AD$ が $A$ でない点 $E$ で交わり，三角形 $DEC$ の外接円と線分 $AB$ が接しました．$AE=2, ED=5$ のとき，線分 $AB$ の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$，垂心を $H$，線分 $HB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，線分 $MN$ と三角形 $NDC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とします．$AX\perp MN, XA=2, XD=1$ のとき線分 $AC$ の長さの二乗を解答してください．

注：この問題は全完防止用問題です。この問題を解くには高度な知識が必要かもしれません。

問題文

Aの箱には白い玉が $1500$ 個 黒い玉が $500$ 個入っている。
Bの箱には白い玉が $1000$ 個 黒い玉が $1000$ 個入っている。
Cの箱には白い玉が $800$ 個 黒い玉が $1200$ 個入っている。
次のような操作を順に行う。
(1) Aの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(2) Bの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(3) Cの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(4) A,B,Cそれぞれの箱に残っている黒い玉の個数を $a,b,c$ とした時、$a>b$ または $b>c$ が成立した場合は操作をここで終了する。
(5) 箱に玉が一つも残っていない場合は操作をここで終了する。
(6) 操作が終了しなかった場合 (1) に戻る(取り出したボールは箱には戻さない)
操作が終了した時、箱に玉が一つも残っていない確率を求めてください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。

問題文

次の式の値は互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\displaystyle \frac{q}{p}$ と表せるので，$p+q$ の値を解答してください．
$$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{(n-1)!(i+j)!(2n-i-j)!}{i!j!(2n)!(n-i)!(n-j)!}$$

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

$$p^q-r^2=23$$
を満たす素数の組 $(p,q,r)$ すべてについて, $pqr$ の総和を解答してください.

解答形式

半角で解答してください

対角線同士が $E$ で交わっている凸四角形 $ABCD$ について，
$$BA=9,　AD=6,　DC=7,　\angle AED = \angle ADC = \angle DCB$$
が成り立っているとき，線分 $BC$ の長さは整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt b$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

$x$ についての $4$ 次方程式 $x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$ の $4$ つの複素数解を $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ としたとき，次の値を求めてください．

$$(\alpha\beta\gamma+\delta)(\beta\gamma\delta+\alpha)(\gamma\delta\alpha+\beta)(\delta\alpha\beta+\gamma)$$

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$1,2,4,\dots,512$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_{10}$ であって，

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}+\frac{a_9}{a_{10}}=1$$

を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

座標平面上で，$0\leq i\leq5,0\leq j\leq5$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される点のうち相異なる $3$ つを選んでそれらを良い点とします．次を満たすように $3$ つの良い点を選ぶ方法は何通りありますか．

• 点 $(0,0)$ から点 $(5,5)$ まで $x$ 座標または $y$ 座標が整数である状態を保って最短で移動する経路であって，良い点をすべて通るようなものが存在する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると,
$$AP=7　　PC=4　　\cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$
が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.