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正整数列であって以下の条件を全て満たすもの個数を $f(n)$ とします.
$f(10000)$ を $1000$ で割った余りを求めてください.ただし, 必要なら以下を用いても良いです.
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline n & f(n)\: \mathrm{mod} \:1000 \\ \hline \hline 9990 & 529 \\ \hline 9991 & 3\\ \hline 9992 & 811\\ \hline 9993 & 569\\ \hline 9994 & 126\\ \hline 9995 & 145\\ \hline 9996 & 341\\ \hline 9997 & 75\\ \hline 9998 & 193\\ \hline 9999 & 212\\ \hline \end{array} $$
$AB<AC$ なる鋭角三角形について，垂心を $H$、外心を $O$，線分 $BC$ の中点を $M$ とし，三角形 $AOM$ の外接円と半直線 $AB$，線分 $AC$ がいずれも $A$ でない点で交わったのでその交点をそれぞれ $D,E$ とします．線分 $DE$ と $BC$ の交点を $F$ とすると，$OH=4, HF=5, FM=6$ が成立しました．このとき，線分 $AO$ の長さの二乗を解答してください．
鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$，垂心を $H$，線分 $HB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，線分 $MN$ と三角形 $NDC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とします．$AX\perp MN, XA=2, XD=1$ のとき線分 $AC$ の長さの二乗を解答してください．
$1,2,4,\dots,512$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_{10}$ であって，
$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}+\frac{a_9}{a_{10}}=1$$
を満たすものはいくつありますか．
答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．
座標平面上で，$0\leq i\leq5,0\leq j\leq5$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される点のうち相異なる $3$ つを選んでそれらを良い点とします．次を満たすように $3$ つの良い点を選ぶ方法は何通りありますか．
$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると, $$AP=7 PC=4 \cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$ が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
注意事項に沿って解答してください.
三角形$ABC$ の内心, $\angle{A}$ 内の傍心をそれぞれ $I,I_{A}$ とし, $I,I_{A}$から線分 $BC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とします. $$AB^2+AC^2=AD^2+AE^2+228, AC-AB=10 $$ が成り立つとき., 線分 $BC$ の長さを求めてください.
平行四辺形 $ABCD$ について，三角形 $ABC$ の外接円と線分 $AD$ が $A$ でない点 $E$ で交わり，三角形 $DEC$ の外接円と線分 $AB$ が接しました．$AE=2, ED=5$ のとき，線分 $AB$ の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
$x$ についての $4$ 次方程式 $x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$ の $4$ つの複素数解を $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ としたとき，次の値を求めてください．
$$(\alpha\beta\gamma+\delta)(\beta\gamma\delta+\alpha)(\gamma\delta\alpha+\beta)(\delta\alpha\beta+\gamma)$$
$x$ についての $100$ 次方程式 $x^{100}+x^{99}+\dots+x+1=0$ の $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{100}$ とします．このとき，
$$\left|\sum_{k=1}^{100}\frac{1}{\alpha_k-1}\right|$$
の値を求めてください．
三角形 $ABC$ の垂心を $H$ , 重心を $G$ とします. $$AG=9 HG=2 \angle{AGH}=60^\circ$$ が成り立つとき, 線分 $BC$ の長さを求めてください.
$AB=32，\angle ABC=30^\circ$ なるひし形 $ABCD$ について，その内接円と辺 $AB,BC,CD,DA$ との接点をそれぞれ $E,F,G,H$ とします．四角形 $EFGH$ の面積を求めてください．
