OMC不採用問題改題

問題文

「オ」「タ」「チ」の $3$ 種類の文字で構成される長さ $n$ の文字列に対して，オオタチ度を，その文字列の中で連続する $4$ 文字が「オオタチ」となっているようなものの数と定義します．
　たとえば「チタタオオタチオタチタオオオタチ」のオオタチ度は $2$ で，「チタオオチタオオチタオオ」のオオタチ度は $0$ です．
　長さが $n$ で構成する文字が $3$ 種類のため，文字列としては $3^n$ 種類のものが考えられます．これらのオオタチ度の相加平均を $f(n)$ とします．
　$f(n)$ が正整数になる最小の $n$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ 上に点 $X$ をとります．$B,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_1$ とし，$C,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_2$ とします．$\Omega_1$ と $\Omega_2$ は二点で交わっており，$X$ でない方の交点を $Y$ とします．直線 $XY$ は点 $A$ を通り，線分 $XC$ の垂直二等分線も点 $A$ を通りました．
$$BX = 4，CX=1$$を満たす時，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，求める値は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします．
正整数 $n$ に対して， $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます．$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください．ただし，$3343$ は素数です．

解答形式

非負整数を解答してください．

$0$ 以上 $6$ 以下の整数からなる組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ のうち以下を満たすものの個数を求めてください.
$$(a_1a_2)^3+(a_2a_3)^3+(a_3a_4)^3+(a_4a_5)^3+(a_5a_1)^3\equiv0\pmod{7}$$

問題文

凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします．
$$
\begin{cases}
AB=BC=CD=DE \\\\
2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\
2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ}
\end{cases}
$$
このとき，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので，$a+b$ を答えてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

直径 $10$ の円周上に $120$ 個の異なる点 $A_1,\ldots, A_{120}$があります．$120$ 個の点のうち $2$ 点を選ぶ方法は ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りあります．この ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りすべての二点の距離の総積の最大値を $M$ としたときに，$M$ は整数値になるので，$M$ の正の約数の個数を答えてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

以下の値を求めてください。
$$
\begin{align}
\sum_{k=1}^{33333^2+200\cdot33333}\sqrt{\frac{2k+19999-2\sqrt{k^2+19999k+99990000}}{k^2+19999k+99990000}}
\end{align}
$$

解答形式

答えは互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表されるので、
$p+q$の値を解答してください。

制作者の声

(誰かがもう作ってそうです...知っている方がいれば教えてほしいです)

問題文

一辺の長さが $1$ の立方体 $1800$ 個から構成される，長さ $10,12,15$ の辺からなる直方体があります．
このとき，直方体の対角線のうちの $1$ つについて，これが内部を通過する立方体の個数を求めてください．

ただし，立方体の内部とは，頂点や辺・面そのものを含まないものとして考えます．

解答形式

求めるべき値は非負整数値として一意に定まるので，これを解答してください．

問題文

$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して，スコアを
$$
\sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k)
$$
で定めます．$2024!$ 通りの並べ替えに対して，スコアとしてあり得る値はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

正の実数の組 $(x_1,x_2,\dots,x_5)$ に対し, $a_1=b_1=1
$ および $n=1,\dots,5$ について以下を満たす実数の組 $(a_1,a_2,\dots,a_6,b_1,b_2,\dots,b_6)$ を考えます.
$$a_{n+1}=x_n a_n-n b_n,\quad b_{n+1}=x_n b_n$$
$b_6=100$ となるとき, $a_6$ として取りうる値には最大値が存在し, それを $M$ とします. $M$ の最小多項式 $P$ が存在するので, $P(500)$ を求めてください. ただし, $P$ の最高次の係数は $1$ とします.

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり，さらに，$D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる．さらに，辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする．
三角形 $ADF$，四角形 $FGIH$，$AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので，$a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．