OMC不採用問題改題

問題文

「オ」「タ」「チ」の $3$ 種類の文字で構成される長さ $n$ の文字列に対して，オオタチ度を，その文字列の中で連続する $4$ 文字が「オオタチ」となっているようなものの数と定義します．
　たとえば「チタタオオタチオタチタオオオタチ」のオオタチ度は $2$ で，「チタオオチタオオチタオオ」のオオタチ度は $0$ です．
　長さが $n$ で構成する文字が $3$ 種類のため，文字列としては $3^n$ 種類のものが考えられます．これらのオオタチ度の相加平均を $f(n)$ とします．
　$f(n)$ が正整数になる最小の $n$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします．
正整数 $n$ に対して， $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます．$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください．ただし，$3343$ は素数です．

解答形式

非負整数を解答してください．

問題文

直径 $10$ の円周上に $120$ 個の異なる点 $A_1,\ldots, A_{120}$があります．$120$ 個の点のうち $2$ 点を選ぶ方法は ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りあります．この ${}_{120}\mathrm{C}_{2}$ 通りすべての二点の距離の総積の最大値を $M$ としたときに，$M$ は整数値になるので，$M$ の正の約数の個数を答えてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ 上に点 $X$ をとります．$B,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_1$ とし，$C,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_2$ とします．$\Omega_1$ と $\Omega_2$ は二点で交わっており，$X$ でない方の交点を $Y$ とします．直線 $XY$ は点 $A$ を通り，線分 $XC$ の垂直二等分線も点 $A$ を通りました．
$$BX = 4，CX=1$$を満たす時，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，求める値は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

下図は、2つの正方形と円を組み合わせた図形です。点（●）は小さい正方形の辺を4等分する点で、円は大きい正方形に内接しています。大きい正方形の面積が60㎠のとき、小さい正方形の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり，さらに，$D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる．さらに，辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする．
三角形 $ADF$，四角形 $FGIH$，$AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので，$a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

四角形ABCDは正方形で、点E,F,G,Hは辺の中点です。四角形ABCDの面積が54㎠のとき、青い部分の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

数列$a_n$を次のように定める。
$a_1=1$
$a_n=n^{a_{n-1}}$
このとき、以下の問いに答えなさい。
(1)$a_{2023}$の一の位はいくつか求めよ。
(2)$a_{2024}$の一の位はいくつか求めよ。
(3)$a_{2024}$の百の位はいくつか求めよ。

解答形式

(1) ~~~
(2) ~~~
の形でお願いします。問題番号と解答、一つの小問の解答と解答の間は半角スペースを開けてください。
解答は数字のみお書きください。

問題文

$\triangle{ABC}$ の辺 $AC$ に接する傍接円の中心を $I_B$，辺 $AB$ に接する傍接円の中心を $I_C$ とし，$I_BI_C$ の中点を $M$ とする．
$I_BI_C=14,BC=10$ のとき，$\triangle{MBC}$ の面積を $2$ 乗した値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

以下の条件をともに満たす $12$ 桁の正整数 $M$ はいくつありますか？

• $M$ を $3$ 桁ずつに区切って得られる $4$ つの正整数を左から $A,B,C,D$ として定めると，$\lvert A - B + C - D\rvert$ は $11$ の倍数かつ $13$ の倍数となる．
• $M$ を $4$ 桁ずつに区切って得られる $3$ つの自然数を左から $E,F,G$ として定めると，$\lvert E - F + G\rvert$ は $137$ の倍数となる．

ただし，$M,A,E$ の最高位の数字は $0$ でないものとします．

解答形式

条件を満たす $12$ 桁の正整数 $M$ の個数を，半角数字で余分な空白や改行を入れずに解答してください．

問題

$(1)$　集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか．
$(2)$　$3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．

解答形式

命題は真なら $1$，偽なら $0$ として，$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．