No.04 平方根と有理数
問題
$(1)$ $1-\dfrac{2}{x}=\sqrt{2-\sqrt 3}$ のとき，$x^3=\dfrac{ax+b}{|x^2-20|}$ となる有理数 $a,b$ を求めよ．
$(2)$ $60|p-q\sqrt 3|\lt 1\leqq p-4\leqq 100$ を満たす整数 $p,q$ は存在するか．
解説
$(1)$ まず，$x=\dfrac{2}{1-\sqrt{2-\sqrt 3}}$ の値は $\dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt 2-|\sqrt 3-1|}=\dfrac{2\sqrt 2(1+\sqrt 2+\sqrt 3)}{(1+\sqrt 2)^2-(\sqrt 3)^2}$ から $x=1+\sqrt 2+\sqrt 3$ と表せて，$(x-1)^2=5+2\sqrt 6$ は無理数かつ $x^4-4x^3-4x^2+16x-8=0$ より $x^5-20x^3=0(x+4)-56x+32$ を得る．
よって，正の無理数 $56x-32=ax+b$ から有理数 $a,b$ は $a\neq56$ だと矛盾するので，$a=\boldsymbol{56},\ b=\boldsymbol{-\,32}$ となる．
$(2)$ $k=0,1,\cdots,60$ に対し，$k\sqrt 3$ の整数・小数部分を $c_k,d_k$ とすると，区間 $0\leqq \ell\lt 1$ の $60$ 等分と鳩の巣原理より $|d_i-d_j|\lt\dfrac{1}{60}$ を満たす二つの番号 $i\gt j$ がとれる．よって，$c_k+d_k=k\sqrt 3$ から $p=c_i-c_j,\ q=i-j$ とおくと，$60|p-q\sqrt 3|\lt 1$ と表せて，$\dfrac{5}{3}\lt \sqrt 3\lt\dfrac{7}{4}$ かつ $3\leqq q\leqq 60$ より $5\leqq p\leqq 104$ となるので，整数 $p,q$ は存在する．■
参考
任意の正の整数 $n$ と無理数 $r$ に対し，$n|p-qr|\lt 1\leqq q\leqq n$ の整数解 $(p,q)$ が存在するので，$r$ を分母 $q$ の有理数で近似すると $\left|r-\dfrac{p}{q}\right|\lt\dfrac{1}{nq}$ が成立して，$q$ の上限 $n$ をとり除くと $\left|r-\dfrac{p}{q}\right|\lt\dfrac{1}{q^2}$ の精度をもつ $\dfrac{p}{q}$ は無限個とわかる．
また，$r^2$ が整数の本問は $r=\sqrt 3$ の小数部分 $r-1=\dfrac{2}{r+1}$ を模した漸化式 $r_1=1,\ r_{n+1}=1+\dfrac{2}{r_n+1}$ をもとに，既約分数列 $1,2,\dfrac{5}{3},\dfrac{7}{4},\cdots$ で上の精度を実現できて，$r_7,r_8$ と対応する組 $(p,q)=(71,41),(97,56)$ が条件を満たす．
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