bMC_E

問題文

$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して，スコアを
$$
\sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k)
$$
で定めます．$2024!$ 通りの並べ替えに対して，スコアとしてあり得る値はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$，内心を $I$，外接円を $\Gamma$ とします．直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし，$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると，$AX=BX$ となりました．このとき，辺 $BC$ の長さを求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a\times b\times c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

$3×3$ のマス目に $1$ から $9$ までの整数を重複なく書き込む方法のうち，辺を共有せず，頂点を共有するどの $2$ マスについても，そこに書き込まれた $2$ 数が互いに素であるものは何通りありますか？ただし，回転や反転によって一致するものも異なるものとみなします．

問題文

円 $\Gamma$ に内接する凸四角形 $ABCD$ において，直線 $AB,CD$ の交点を $S$，$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $T$ とします．$S,C,D,T$ がこの順に並んでおり，かつ，
$$AB=10,SC=16,TD=5,BC\cdot AD=32$$
が成立しているとき，線分 $SB$ の長さを求めてください．ただし求める長さは，正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題

$(1)$　集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか．
$(2)$　$3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．

解答形式

命題は真なら $1$，偽なら $0$ として，$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

問題

$(1)$　$4$ つの実数 $(10\pm\sqrt 2\pm 4\sqrt 3)^3+1$ の和と等しい整数の最大素因数を求めよ．
$(2)$　方程式 $(2x^2-x)(2x^2-7x+6)=7$ の実数解 $x$ に対する $x^5-\dfrac{1}{x^5}$ の値を求めよ．

解答形式

$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

$100\times 100$のマス目に整数（負でもよい）を書き込んで、各行・各列の積が全て$10$になるようにしたものを良い盤面と呼びます。良い盤面に書かれた数の$2$乗和をその良い盤面のスコアとします。
すべての良い盤面にわたるスコアの総和を$M$とするとき、$M$が$2$で割り切れる最大の回数を求めてください。

問題文

ポロロッカ王国には$10$個のサッカーチームがあります．各チームにはレートと呼ばれる$0$以上$10$以下の整数が定まっており，レートの異なる$2$チームの試合では，必ずレートの大きい方が勝ちます．レートは秘密にされており，国民は知ることができません．
あるとき，これら$10$個のチームで総当たり戦（全$45$試合）が行われ，引き分けはありませんでした．ポロロッカ王国民であるAさんが，この総当たり戦の結果から各チームのレートを推測しようとしたところ，あり得るパターンは$N$種類存在しました．$N$として考えられる値の合計を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$\angle A$ (内角) の二等分線と $BC$，円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, M(\neq A)$，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$，$AC$ の中点を $N$，円 $ENC$ と円 $ABC$ の交点を $X(\neq C)$，円 $XMD$ と $BC$ の交点を $P(\neq D)$，$PM$ の中点を $Q$ とします．
$$AB=9,　AC=14,　QN=8$$
であるとき，$BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$2000$ 以下の非負整数 $a$ に対し，数列 $c_{n}$ が以下をみたします.
$$c_{1}=a,　c_{2}=2000-a,　c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$$
このとき，$c_{2^{4333}}$ が $47^2$ の倍数となるような $a$ としてありうる値の総和を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

$a\lt c$ なる実数 $a, b, c$ が
$$\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{(b+c)(c-a)}{1+c^2}$$
をみたすとき，$(8a+13b+21c)^2$ の取りうる最小値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.