1を含んだ規則的な数列

問題文

$ $　地理奈ちゃんは，$10$ 面サイコロを $4$ つ持っており，それを $4$ つ全て同時に $1$ 回振ることを考えます．ここでの $10$ 面サイコロは，$1$ 以上 $10$ 以下の整数の目が同様に確からしい確率で $1$ つ出るサイコロとします．
$ $　また，サイコロの出目により，それぞれのサイコロに対して，成功数を以下のように定義します．

• 出目が $1$ のとき $2$
• 出目が $2$ 以上 $7$ 以下のとき $1$
• 出目が $8$ 以上 $9$ 以下のとき $0$
• 出目が $10$ のとき $-1$

$ $　この時，$4$ つのサイコロを振って，その成功数の合計が $0$ 以下になる確率は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．

【追記】
難しすぎるという意見をいただいたので難易度を2→3に変更しました。

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

$ $　正方形の中を等間隔に区切ってできた $6×6$ のマス目があります．正方形の中心を中心として点対称となるようにマス目を塗ることを考えます．
$ $　正方形全体で $10$ マスちょうどを塗るとき，マス目の塗られ方は何通りありますか？ただし，反転・回転して一致するものは全て区別します．

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

$11 \times 11$ の長方形のマスのうちいくつかを次の条件を満たしながら黒色に塗っていきます．

• 黒色に塗られた任意の $2$ つのマスは辺を共有しない(頂点は共有しても良い)．

このとき，黒色に塗ることができるマスの数は最大でいくつですか．

解答形式

正整数で答えて下さい．

問題文

$ $　$1$ を $3$ つ，$2$ を $1$ つ，$7$ を $2$ つを全て使い，それらを並べ替えてできた長さ $6$ の文字列は全部でいくつありますか？
$ $　ただし，同じ文字は区別しません．

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

問題文

$ $　$5$ 種類の大きさ $1,2,3,4,5$ の服がそれぞれ $3$ 枚ずつあり，合計 $15$ 枚にはすべてに相異なる色が着色されています．$A$ さん，$B$ さん，$C$ さんの $3$ 人は，これら $15$ 枚の服からそれぞれ $1$ 枚ずつ異なる服を選んで着ます．ここで，$3$ 人が着ることのできる服の大きさは以下の通りです．

• $A$ さんは，大きさ $1,2,3,4,5$ 全てを着ることができる．
• $B$ さんは，大きさ $1,2,3$ を着ることができる．
• $C$ さんは，大きさ $3,4,5$ を着ることができる．

$ $　このとき，$3$ 人の服の選び方はいくつありますか？
$ $　ただし，$3$ 人全体で見て同じ服を選んでいても着ている人が異なる場合違う選び方として区別します．

追記:6/26
解説の誤字を修正しました。ご指摘ありがとうございます。

解答形式

非負整数を半角で解答してください．

$\text{n-テトロミノ}$とは、正方形を四つ、下のようにつなげた図形です。

orangekidくんはこの図形が大好きなので、下の図のような形をした画用紙からなるべく多くの$\text{n-テトロミノ}$を切り出したいです。

$\text{n-テトロミノ}$を裏返しの状態で切り出してもよいものとするとき、orangekidくんは最大何個の$\text{n-テトロミノ}$を切り出せるでしょうか。
「個」はつけずに、整数値のみで答えてください。

問題文

次の計算をせよ。
$$
{}_{12}{\mathrm{C}}_{1}\quad+{}_{12}{\mathrm{C}}_{2}\quad+{}_{12}{\mathrm{C}}_{3}\quad+……+{}_{12}{\mathrm{C}}_{12}\quad
$$

解答形式

半角算用数字で解答してください

問題文

xy=(x-1)(y-1)+10 となるxyの総和を求めよ。但し、x,yは正整数とする。

解答形式

半角数字で入力すること。

問題文

連続する8つの正整数の三乗の和で表せる数のうち、2000に最も近いものを求めよ。

解答形式

半角で入力してください。

${999}$を2以上の最小の$2$つの立方数の差で表せ。

問題を一部訂正しました。毎度毎度誠に申し訳ございません。問題ミスがあったためこれまでの解答は正解にしました。

解答形式

a>b>1の自然数を用いてa^3-b^3というふうに表せるのでabと2つの整数を連続して半角で書いてください。
(例:15^3-3^3なら解答は153)

問題文

注:すみません，ネタ問題です.TeXも使っていません.

任意の自然数nについて，約数の総和をp(n)，約数の個数をq(n)とすると，整数の定数kを用いてp(n)=k×(q(n))と表せます.kを求めてください.

解答形式

半角の整数で解答してください.
余計な空白や改行を含まないよう注意してください.

問題文

$2^{20}!!$ は $2$ で何回割り切れますか？

解答形式

半角数字でお答え下さい。
計算機はご自由にお使いください。